上海交通大学 2023年强基第16题
📝 题目
设 $x, y, z\gt 0$ 满足 $\left(x^{2}-3 x y+4 y^{2}\right) z=x y$ ，求 $\displaystyle \frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{z}$ 的最小值。
💡 答案解析
解析：由条件知 $\displaystyle \frac{1}{z}=\frac{x}{y}-3+4 \frac{y}{x}$ ，则 $\displaystyle \frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{z}=\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+2\left(\frac{x}{y}-3+4 \frac{y}{x}\right)\gt 2\left(\frac{x}{y}-3+4 \frac{y}{x}\right) \geq 2\left(2 \sqrt{\frac{x}{y} \cdot 4 \frac{y}{x}}-3\right)=2$ ，这里第一个不等号是由于 $x, y$ 的正性，第二个不等号是由于基本不等式，且在 $x=2 y$ 时可取到。由于满足此比例关系的正数 $x, y$ 可任意大，则 $\displaystyle \frac{2}{x}+\frac{1}{y}\gt 0$ 可任意小，故原式无最小值，取值的下确界为 2 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将条件等式变形，用x和y表示1/z
由条件等式 (x^2 - 3xy + 4y^2)z = xy，两边除以xyz得 (x/y - 3 + 4y/x) = 1/z，即1/z = x/y - 3 + 4y/x。
公式：1/z = x/y - 3 + 4y/x
提示：注意除以xyz时，x,y,z>0，所以除法合法。
步骤 2/5
目标：将目标表达式用x和y表示
目标表达式为 2/x + 1/y + 2/z，代入1/z得：2/x + 1/y + 2(x/y - 3 + 4y/x) = 2/x + 1/y + 2x/y - 6 + 8y/x。
公式：2/x + 1/y + 2/z = 2/x + 1/y + 2x/y - 6 + 8y/x
提示：注意合并同类项。
步骤 3/5
目标：利用x,y>0放缩，去掉正项2/x和1/y
由于x,y>0，有2/x > 0，1/y > 0，所以2/x + 1/y + 2x/y - 6 + 8y/x > 2x/y - 6 + 8y/x。注意这里是严格大于，因为正项不能为零。
公式：2/x + 1/y + 2/z > 2x/y + 8y/x - 6
提示：放缩时注意方向，因为正项被去掉，表达式变小。
步骤 4/5
目标：对剩余部分应用基本不等式求下界
对2x/y + 8y/x应用基本不等式：2x/y + 8y/x ≥ 2√(2x/y * 8y/x) = 2√16 = 8，当且仅当2x/y = 8y/x即x=2y时取等。所以2x/y + 8y/x - 6 ≥ 2。
公式：2x/y + 8y/x ≥ 8，当且仅当x=2y
提示：基本不等式：a+b≥2√ab，a,b>0。
步骤 5/5
目标：分析原式能否达到下界2
原式大于2x/y+8y/x-6，而后者最小为2，但原式比后者多正项2/x+1/y，所以原式严格大于2。当x=2y时，2/x+1/y = 2/(2y)+1/y = 2/y，可任意小（y→∞），故原式可无限接近2但取不到。
公式：原式 > 2，下确界为2
提示：注意等号成立条件：基本不等式等号成立时x=2y，但此时原式仍大于2，因为正项存在。
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