上海交通大学 2023年强基第17题
📝 题目
设抛物线 $C: y^{2}=4 x$ ，直线 $l$ 过焦点 $F$ 且与抛物线 $C$ 交于 $A, B$ 两点，满足 $|A F|=3|B F|$ ，且点 $A$ 在 $x$ 轴上方，求直线 $l$ 的斜率。 
💡 答案解析
解析：由条件知 $F=(1,0)$ ，又直线 $l$ 的斜率不为 0 ，故可设为 $l: x=m y+1$ ，联立方程 $\left\{\begin{array}{c}y^{2}=4 x \\ x=m y+1\end{array}\right.$ ，得 $y^{2}-4 m y-4=0$ 。由韦达定理知，该方程的两根 $y_{1}, y_{2}$ 满足 $\left\{\begin{array}{c}y_{1}+y_{2}=4 m \\ y_{1} y_{2}=-4\end{array}\right.$ 。不妨设 $y_{1}\gt 0\gt y_{2}$ 。由抛物线的第二定义知，$\displaystyle \frac{y_{1}^{2}}{4}+1=3\left(\frac{y_{2}^{2}}{4}+1\right)$ ，即 $y_{1}^{2}=3 y_{2}^{2}+8$ ，代入上式解出 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}y_{1}=2 \sqrt{3} \\ y_{2}=-\frac{2 \sqrt{3}}{3}\end{array}\right.$ 则直线 $l$ 的斜率为 $\displaystyle \frac{1}{m}=\frac{4}{y_{1}+y_{2}}=\sqrt{3}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定焦点坐标并设直线方程
抛物线 y²=4x 的焦点 F(1,0)。由于直线过焦点且斜率不为0，设直线 l: x=my+1。
公式：焦点坐标 (1,0)
提示：设 x=my+1 可避免讨论斜率不存在的情况。
步骤 2/5
目标：联立方程并利用韦达定理
联立 y²=4x 与 x=my+1，得 y²-4my-4=0。设 A(x1,y1), B(x2,y2)，则 y1+y2=4m，y1y2=-4。
公式：y²-4my-4=0
提示：注意判别式大于0，确保有两个交点。
步骤 3/5
目标：利用抛物线定义转化条件
由抛物线定义，|AF|=x1+1，|BF|=x2+1。条件 |AF|=3|BF| 即 x1+1=3(x2+1)。又 x1=y1²/4，x2=y2²/4，代入得 y1²=3y2²+8。
公式：|AF|=x1+1，|BF|=x2+1
提示：抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离。
步骤 4/5
目标：联立韦达定理求解坐标
由 y1y2=-4 得 y2=-4/y1。代入 y1²=3y2²+8，得 y1²=3*(16/y1²)+8，即 y1⁴-8y1²-48=0。解得 y1²=12 或 -4（舍），故 y1=2√3（正），y2=-4/y1=-2√3/3。
公式：y1⁴-8y1²-48=0
提示：注意 y1>0，y2<0。
步骤 5/5
目标：计算直线斜率
由 y1+y2=4m 得 m=(y1+y2)/4=(2√3 - 2√3/3)/4=√3/3。直线斜率 k=1/m=√3。
公式：k=1/m
提示：斜率 k=1/m，因为直线方程 x=my+1。
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