上海交通大学 2023年强基第18题
📝 题目
方程 $x^{2}=x \sin x+\cos x$ 的实数解有几个？
💡 答案解析
解析：记 $f(x)=x^{2}-x \sin x-\cos x$ ，由于 $f$ 为偶函数，故只需考虑方程 $f(x)=0$ 在 $[0,+\infty)$ 上的零点即可．由当 $x\gt 0$ 时 $f^{\prime}(x)=2 x-x \cos x\gt 0$ 知，$f$ 在 $[0,+\infty)$ 上严格单调增。又 $f(0)=-1\lt 0, f(\pi)=\pi^{2}+1\gt 0$ ，且 $f$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，故 $f$ 在 $[0,+\infty)$ 上存在唯一的零点。因此原方程的实数解恰有两个。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：构造函数并分析奇偶性
令 f(x)=x^2 - x sin x - cos x，由于 f(-x)=f(x)，f 是偶函数，只需考虑 x≥0 的零点。
公式：f(x)=x^2 - x sin x - cos x
提示：偶函数零点关于原点对称，可简化问题。
步骤 2/5
目标：求导判断单调性
求导得 f'(x)=2x - x cos x = x(2 - cos x)。当 x>0 时，2 - cos x ≥1>0，故 f'(x)>0，f 在 [0,+∞) 严格递增。
公式：f'(x)=x(2 - cos x)
提示：注意 cos x ≤1，所以 2-cos x ≥1。
步骤 3/5
目标：计算端点函数值
f(0)=0 - 0 - 1 = -1 < 0；f(π)=π^2 - π sin π - cos π = π^2 - 0 - (-1)=π^2+1 > 0。
公式：f(0)=-1, f(π)=π^2+1
提示：利用特殊点判断符号。
步骤 4/5
目标：应用零点定理确定唯一零点
f 在 [0,π] 连续，f(0)<0，f(π)>0，由零点定理存在零点；又 f 严格递增，故在 [0,+∞) 有唯一零点。
提示：单调性保证零点唯一。
步骤 5/5
目标：利用偶函数得出全部实数解
由于 f 是偶函数，在 (0,+∞) 有唯一零点，则对应负半轴也有一个对称零点，故原方程共有2个实数解。
提示：偶函数零点成对出现（非零）。
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