上海交通大学 2023年强基第19题

解析：由三角函数的 $2 \pi$－周期性，只需考虑 $\displaystyle x \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]$ 即可。当 $\displaystyle x \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ 时， $\cos x \geq 0$ ，则 $\displaystyle \frac{\cos x}{\sqrt{4+3 \sin x}}=\sqrt{\frac{\cos ^{2} x}{4+3 \sin x}}=\sqrt{\frac{1-\sin ^{2} x}{4+3 \sin x}}$ 。记 $t=\sin x \in[-1,1]$ ，则 $\displaystyle 0 \leq \frac{1-t^{2}}{4+3 t}=-\frac{1}{9}\left((3 t+4)+\frac{7}{3 t+4}-8\right) \leq- \frac{1}{9}\left(2 \sqrt{(3 t+4) \cdot \frac{7}{3 t+4}}-8\right)=\frac{-2 \sqrt{7}+8}{9}$ ，且当 $t= \pm 1$ 时取左端等号，当 $\displaystyle t=\frac{\sqrt{7}-4}{3}$ 时取右端等号，故原式的取值范围为 $\displaystyle \left[0, \frac{\sqrt{7}-1}{3}\right]$ ．当 $\displaystyle x \in\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]$ 时， $\cos x \leq 0$ ，则 $\displaystyle \frac{\cos x}{\sqrt{4+3 \sin x}}=-\sqrt{\frac{\cos ^{2} x}{4+3 \sin x}}=-\sqrt{\frac{1-\sin ^{2} x}{4+3 \sin x}}$ ，同理知取值 范围为 $\displaystyle \left[-\frac{\sqrt{7}-1}{3}, 0\right]$ ．综上知函数的值域为 $\displaystyle \left[-\frac{\sqrt{7}-1}{3}, \frac{\sqrt{7}-1}{3}\right]$ 。