上海交通大学 2023年强基第20题
📝 题目
设 $f(x)=\sin 2 x, g$ 是 $f$ 向左平移 $\varphi$ 个单位的函数， $\displaystyle 0\lt \varphi\lt \frac{\pi}{2},\left|g\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)\right|=2$ ，且 $\displaystyle x_{2}-x_{1}= \frac{\pi}{3}$ ，求 $\varphi$ 的值。
💡 答案解析
解析：由条件知 $g(x)=\sin 2(x+\varphi)$ 。由于 $f, g$ 的值域均为 $[-1,1]$ ，而 $\left|g\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)\right|=2$ ，故 $\displaystyle \left\{\begin{array}{c}f\left(x_{1}\right)=\sin 2 x_{1}=-1 \\ g\left(x_{2}\right)=\sin 2\left(x_{1}+\frac{\pi}{3}+\varphi\right)=1\end{array}\right.$ 或 $\displaystyle \left\{\begin{array}{c}f\left(x_{1}\right)=\sin 2 x_{1}=1 \\ g\left(x_{2}\right)=\sin 2\left(x_{1}+\frac{\pi}{3}+\varphi\right)=-1\end{array}\right.$ ，在前一种情形中，由两角和的正余弦公式可知， $$ \begin{gathered} 1=\sin 2\left(x_{1}+\frac{\pi}{3}+\varphi\right)=\sin 2 x_{1} \cdot \cos 2\left(\frac{\pi}{3}+\varphi\right)+\sin 2\left(\frac{\pi}{3}+\varphi\right) \cdot \cos 2 x_{1} \\ =-\cos 2\left(\frac{\pi}{3}+\varphi\right)=1-2 \cos ^{2}\left(\frac{\pi}{3}+\varphi\right) \end{gathered} $$ 即 $\displaystyle \cos \left(\frac{\pi}{3}+\varphi\right)=0$ ．又 $\displaystyle 0<\varphi<\frac{\pi}{2}$ ，则 $\displaystyle \varphi=\frac{\pi}{6}$ 。在后一种情形中同理可得 $\displaystyle \varphi=\frac{\pi}{6}$ ，综上 $\displaystyle \varphi=\frac{\pi}{6}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出平移后的函数g(x)的表达式
由题意，f(x)=sin2x向左平移φ个单位得g(x)=sin2(x+φ)。
公式：g(x)=sin2(x+φ)
提示：注意平移方向：左加右减。
步骤 2/6
目标：分析绝对值等式成立的条件
f和g的值域均为[-1,1]，要使|g(x2)-f(x1)|=2，必须一个取1，另一个取-1。
公式：|a-b|=2, a,b∈[-1,1] ⇒ {a,b}={1,-1}
提示：最大值与最小值之差为2。
步骤 3/6
目标：建立方程组
由x2-x1=π/3，得x2=x1+π/3。代入g(x2)=sin2(x1+π/3+φ)。分两种情况：f(x1)=-1,g(x2)=1 或 f(x1)=1,g(x2)=-1。
公式：sin2x1=±1, sin2(x1+π/3+φ)=∓1
提示：注意符号对应。
步骤 4/6
目标：求解第一种情况
由sin2x1=-1得2x1=-π/2+2kπ，即x1=-π/4+kπ。代入sin2(x1+π/3+φ)=1得2(x1+π/3+φ)=π/2+2mπ，化简得2φ=π/2+2mπ-2x1-2π/3=π/2+2mπ+π/2-2kπ-2π/3=π/3+2(m-k)π，故φ=π/6+(m-k)π。由0<φ<π/2得φ=π/6。
公式：2φ=π/3+2nπ ⇒ φ=π/6+nπ
提示：注意k,m为整数，取n=0。
步骤 5/6
目标：验证第二种情况
由sin2x1=1得2x1=π/2+2kπ，即x1=π/4+kπ。代入sin2(x1+π/3+φ)=-1得2(x1+π/3+φ)=-π/2+2mπ，化简得2φ=-π/2+2mπ-2x1-2π/3=-π/2+2mπ-π/2-2kπ-2π/3=-π-2π/3+2(m-k)π=-5π/3+2(m-k)π，φ=-5π/6+(m-k)π，在(0,π/2)内无解。
公式：2φ=-5π/3+2nπ ⇒ φ=-5π/6+nπ
提示：取n=1得φ=π/6，但需检查是否满足条件？实际上φ=π/6时，sin2x1=1，则2x1=π/2+2kπ，代入得sin2(x1+π/3+π/6)=sin2(x1+π/2)=sin(2x1+π)= -sin2x1=-1，符合。但此时φ=π/6与第一种情况相同，故φ=π/6。
步骤 6/6
目标：得出最终答案
综合两种情况，φ=π/6。
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