上海交通大学 2023年强基第21题
📝 题目
若 $\displaystyle \sin \left(\frac{\pi}{6}-\varphi\right)=\frac{1}{3}$ ，则 $\displaystyle \cos \left(\frac{2}{3} \pi+2 \varphi\right)=$ ？
💡 答案解析
解析：由二倍角公式， $\displaystyle \cos \left(\frac{2}{3} \pi+2 \varphi\right)=2 \cos ^{2}\left(\frac{1}{3} \pi+\varphi\right)-1=2 \sin ^{2}\left(\frac{\pi}{6}-\varphi\right)-1=2 \times \frac{1}{3^{2}}-1=-\frac{7}{9} 。$
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：识别目标表达式与已知条件的关系
目标为cos(2π/3+2φ)，已知sin(π/6-φ)=1/3。注意到π/6-φ与π/3+φ互余，因为(π/6-φ)+(π/3+φ)=π/2。
公式：sin(α)=cos(π/2-α)
提示：寻找角度关系，利用互余或互补转化。
步骤 2/4
目标：将目标表达式转化为已知角度的函数
cos(2π/3+2φ)=cos[2(π/3+φ)]，而π/3+φ与π/6-φ互余，所以cos(π/3+φ)=sin(π/6-φ)=1/3。
公式：cos(2θ)=2cos²θ-1
提示：二倍角公式可将cos(2θ)用cosθ表示。
步骤 3/4
目标：应用二倍角公式计算
令θ=π/3+φ，则cos(2θ)=2cos²θ-1。代入cosθ=1/3，得cos(2θ)=2×(1/3)²-1=2/9-1=-7/9。
公式：cos(2θ)=2cos²θ-1
提示：计算时注意平方和分数运算。
步骤 4/4
目标：得出最终结果
因此cos(2π/3+2φ)=-7/9。
提示：检查符号，确保结果正确。
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