上海交通大学 2023年强基第23题
📝 题目
设在 $\triangle O A B$ 中，$A O$ 上除 $O$（包含 $A$ ）有 2023 个点，$B O$ 上同理，问这些点能构成多少个三角形？ 
💡 答案解析
解析：我们将这些点构成的三角形分成两类，第一类的顶点中含 $O$ ，第二类的顶点中不含 $O$ ，对于第一类的三角形，它的除 $O$ 外的两个顶点恰为 $A O$ 上除 $O$ 外的一点和 $B O$ 上除 $O$ 外的一点，故有 $2023^{2}$ 个；对于第二类的三角形，它的其中两个顶点在 $A O$（或 $B O$ ）上，另一个顶点在 $B O$（或 $A O$ ）上，故有 $2 \times\binom{ 2023}{2} \times 2023$ 个，因此这些点总共能构成 $2023^{2}+2 \times\binom{ 2023}{2} \times 2023=2023^{3}$ 个三角形。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分类讨论三角形的顶点是否包含点O
将三角形分为两类：第一类顶点包含O，第二类顶点不包含O。
提示：注意O是顶点之一，但O本身不是计数点。
步骤 2/4
目标：计算第一类三角形的个数
第一类三角形含O，另两个顶点分别来自AO和BO上除O外的点，各有2023个选择，故有2023×2023=2023²个。
公式：2023^2
提示：两个点分别取自两条射线，独立选择。
步骤 3/4
目标：计算第二类三角形的个数
第二类三角形不含O，有两种情况：两个顶点在AO上，一个在BO上；或两个在BO上，一个在AO上。每种情况选法为C(2023,2)×2023，故总数为2×C(2023,2)×2023。
公式：2 * C(2023,2) * 2023
提示：注意对称性，乘以2。
步骤 4/4
目标：合并两类三角形个数
总三角形数为2023² + 2×C(2023,2)×2023。计算C(2023,2)=2023×2022/2，代入得2023² + 2023×2022×2023 = 2023³。
公式：2023^3
提示：化简时提取公因式2023²。
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