上海交通大学 2023年强基第24题
📝 题目
设 $a, c$ 是正常数，$\left(x_{t}, y_{t}\right)$ 是抛物线 $y=a x^{2}+t x+c$ 的顶点，求 $\left(x_{t}, y_{t}\right)$ 当 $t$ 变化时构成的图形。
💡 答案解析
解析：由抛物线的表达式知，$\displaystyle x_{t}=-\frac{t}{2 a}, y_{t}=c-\frac{t^{2}}{4 a}$ ，则 $y_{t}=c-a x_{t}^{2}$ ，即 $\left(x_{t}, y_{t}\right)$ 当 $t$ 变化时构成了一条抛物线，轨迹方程为 $y=c-a x^{2}(x \in \mathbb{R})$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：求抛物线顶点坐标公式
对于一般式y=ax²+bx+c，顶点横坐标x=-b/(2a)，纵坐标y=(4ac-b²)/(4a)。这里b=t，代入得x_t=-t/(2a)，y_t=c-t²/(4a)。
公式：x=-b/(2a), y=(4ac-b²)/(4a)
提示：注意二次项系数a为正，顶点为最低点。
步骤 2/3
目标：消去参数t
由x_t=-t/(2a)得t=-2a x_t，代入y_t=c-t²/(4a)得y_t=c-(-2a x_t)²/(4a)=c-a x_t²。
公式：t=-2a x
提示：代入时注意平方运算。
步骤 3/3
目标：得出轨迹方程
消去t后得到y=c-a x²，其中x∈R。因此顶点轨迹是一条开口向下的抛物线。
公式：y=c-a x²
提示：a>0，所以抛物线开口向下。
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