上海交通大学 2023年强基第25题

解析：考虑过点 $(a, b)$ 作函数 $y=e^{x}(x \in \mathbb{R})$ 的图像的两条切线 $l_{1}, l_{2}$ ，并联立它们的切线方程 $\left\{\begin{array}{l}l_{1}: y=e^{x_{1}}\left(x-x_{1}+1\right) \\ l_{2}: y=e^{x_{2}}\left(x-x_{2}+1\right)\end{array}\right.$ ，解得 $\displaystyle \left\{\begin{array}{c}a=\left(x_{1}-1\right)+\frac{x_{1}-x_{2}}{e^{x_{1}-x_{2}-1}} \\ b=e^{x_{1}} \cdot \frac{x_{1}-x_{2}}{e^{x_{1}-x_{2}-1}}\end{array}\right.$, 记 $\displaystyle f(t)=\frac{t}{e^{t}-1}(t \in$ 圆、 $\{0\})$ ，则 $\displaystyle f^{\prime}(t)= \frac{(1-t) e^{t}-1}{\left(e^{t}-1\right)^{2}}$ 。再记 $g(t)=(1-t) e^{t}-1(t \in \mathbb{R})$ ，则 $g^{\prime}(t)=-t e^{t}$ ，故当 $t\lt 0$ 时 $g^{\prime}(t)\gt 0$ ，当 $t\gt 0$ 时 $g^{\prime}(t)\lt 0$ ，即 $g$ 在 $(-\infty, 0)$ 上单调增，在 $(0,+\infty)$ 上单调减，因此 $g$ 在 0 处取最大值 0 。于是 $\forall t \in$見，$g(t) \leq 0$ ，则 $\forall t \in$ 思 $\backslash\{0\}, f^{\prime}(t) \leq 0$ ，即 $f$ 在 $(-\infty, 0)$ 上单调减，在 $(0,+\infty)$ 上单调减．进一步地，易知 $\lim _{t \rightarrow-\infty} f(t)=+\infty, ~ \lim _{t \rightarrow 0^{-}} f(t)=1=\lim _{t \rightarrow 0^{+}} f(t), ~ \lim _{t \rightarrow+\infty} f(t)=0$ ，故 $f$ 的值域为 $(0,1) \cup(1,+\infty)$ 。 再由 $a, b$ 满足的上述方程知，$\displaystyle b=e^{a} \cdot \frac{c}{e^{c-1}}$ ，其中 $c \in(0,1) \cup(1,+\infty)$ ，即 $b=e^{a} \cdot c^{\prime}$ ，其中 $c^{\prime} \in(0,1)$ ．综上所述，对于 $a, b$ 的限制条件为 $0\lt b\lt e^{a}$ 。