上海交通大学 2023年强基第26题

解析：设该正四棱雉的高为 $h$ ．由正四棱雉的外接球体积为 $\displaystyle 36 \pi=\frac{4}{3} \pi r^{3}$ 知，外接球半径为 $r=3$ ，故由勾股定理知，$l^{2}-\hbar^{2}=3^{2}-(\hbar-3)^{2}$ ，即 $l^{2}=6 h$ ．设该正四棱雉的体积为 $V$ ，则 $\displaystyle V=\frac{1}{3}$ ． $\displaystyle 2\left(l^{2}-h^{2}\right) \cdot h=\frac{2}{3}(6-h) h^{2}$ ，其中 $\displaystyle h=\frac{l^{2}}{6} \in\left[\frac{3}{2}, \frac{9}{2}\right]$ ．求导知 $V^{\prime}=-2 h(h-4)$ ，则当 $\displaystyle h \in\left[\frac{3}{2}, 4\right)$ 时 $V^{\prime}\gt 0$ ，当 $\displaystyle h \in\left(4, \frac{9}{2}\right]$ 时 $V^{\prime}\lt 0$ ，故 $V$ 在 $\displaystyle \left[\frac{3}{2}, 4\right)$ 上单调增，在 $\displaystyle \left(4, \frac{9}{2}\right]$ 上单调减，因此 $\displaystyle V_{\text {max }}=\frac{2}{3} \times(6-4) \times 4^{2}=\frac{64}{3}, V_{\text {min }}=\min \left\{\frac{2}{3} \times\left(6-\frac{3}{2}\right) \times\left(\frac{3}{2}\right)^{2}, \frac{2}{3} \times\left(6-\frac{9}{2}\right) \times\left(\frac{9}{2}\right)^{2}\right\}=\frac{27}{4}$ ，故选 $C$ 。