上海交通大学 2023年强基第27题
📝 题目
设函数 $f$ 的定义域为 $\mathbb{R}, f(x+1)$ 为奇函数，$f(x+2)$ 为偶函数，且当 $x \in[1,2]$ 时，$f(x)=a x^{2}+ b$ ，若 $f(0)+f(3)=6$ ，则 $\displaystyle f\left(\frac{9}{2}\right)=$ 。 A．$\displaystyle -\frac{9}{4}$ B．$\displaystyle -\frac{3}{2}$ C．$\displaystyle \frac{7}{4}$ D．$\displaystyle \frac{5}{2}$
💡 答案解析
解析：由条件知函数 $f$ 的图像关于直线 $x=1$ 中心对称，关于直线 $x=2$ 轴对称，则 $\left\{\begin{array}{c}0=f(1)=a+b \\ 6=f(0)+f(3)=-f(2)+f(1)=-(4 a+b)\end{array}\right.$ ，解得 $\left\{\begin{array}{c}a=-2 \\ b=2\end{array}\right.$ ．因此 $\displaystyle f\left(\frac{9}{2}\right)=f\left(-\frac{1}{2}\right)=-f\left(\frac{5}{2}\right)=- f\left(\frac{3}{2}\right)=-\left(-2 \times\left(\frac{3}{2}\right)^{2}+2\right)=\frac{5}{2}$ ，即选D。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：由奇偶性推导对称性
f(x+1)为奇函数，则f(x+1)关于原点对称，即f(x)关于点(1,0)中心对称。f(x+2)为偶函数，则f(x+2)关于y轴对称，即f(x)关于直线x=2轴对称。
公式：f(x+1)奇 => f(1+x)=-f(1-x)；f(x+2)偶 => f(2+x)=f(2-x)
提示：注意平移变换对对称性的影响
步骤 2/4
目标：利用对称性建立方程
由中心对称得f(1)=0，即a+b=0。由轴对称得f(0)=f(4)，f(3)=f(1)=0，但条件f(0)+f(3)=6，故f(0)=6。又由中心对称，f(0)=-f(2)，所以f(2)=-6。代入x=2时f(2)=4a+b=-6，联立a+b=0解得a=-2，b=2。
公式：f(1)=0；f(0)=6；f(2)=-6
提示：注意f(3)=f(1)=0
步骤 3/4
目标：求解参数a和b
由a+b=0和4a+b=-6，解得a=-2，b=2。因此当x∈[1,2]时，f(x)=-2x²+2。
公式：a=-2，b=2
提示：解二元一次方程组
步骤 4/4
目标：利用对称性将自变量转化到已知区间
f(9/2)=f(2+5/2)，由轴对称得f(2+5/2)=f(2-5/2)=f(-1/2)。再由中心对称得f(-1/2)=-f(2-(-1/2))=-f(5/2)。又f(5/2)=f(2+1/2)=f(2-1/2)=f(3/2)。而3/2∈[1,2]，代入得f(3/2)=-2*(9/4)+2=-9/2+2=-5/2。所以f(9/2)=-(-5/2)=5/2。
公式：f(9/2)=f(-1/2)=-f(5/2)=-f(3/2)
提示：多次利用对称性逐步转化
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