上海交通大学 2023年强基第1题
📝 题目
$x, y \in R$ ，满足 $1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 2, S=2 x^{2}+3 x y+2 y^{2}$ ，求 $S_{\text {max }}+S_{\text {min }}=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
解析：由 $(x+y)^{2} \geq 0$ 得 $\displaystyle x y \geq-\frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)$ $$ (x-y)^{2} \geq 0 \text { 得 } x y \leq \frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right) $$ 故 $\displaystyle S=2 x^{2}+3 x y+2 y^{2} \leq \frac{7}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right) \leq 7$ 在 $x=y=1$ 时取到 $$ S=2 x^{2}+3 x y+2 y^{2} \geq \frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right) \geq \frac{1}{2} $$ 在 $\displaystyle x=\frac{\sqrt{2}}{2}, y=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时取到 故 $\displaystyle S_{\text {max }}+S_{\text {min }}=7+\frac{1}{2}=\frac{15}{2}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用平方非负性得到xy的不等式
由(x+y)^2≥0得xy≥-1/2(x^2+y^2)；由(x-y)^2≥0得xy≤1/2(x^2+y^2)。
公式：(x+y)^2≥0, (x-y)^2≥0
提示：注意两个不等式方向相反，用于夹逼xy的范围。
步骤 2/4
目标：求S的最大值
S=2x^2+3xy+2y^2≤2(x^2+y^2)+3*(1/2)(x^2+y^2)=7/2(x^2+y^2)≤7/2*2=7，当x=y=1时取等。
公式：S≤7/2(x^2+y^2)≤7
提示：利用xy的上界，注意x^2+y^2的最大值为2。
步骤 3/4
目标：求S的最小值
S=2x^2+3xy+2y^2≥2(x^2+y^2)+3*(-1/2)(x^2+y^2)=1/2(x^2+y^2)≥1/2*1=1/2，当x=√2/2,y=-√2/2时取等。
公式：S≥1/2(x^2+y^2)≥1/2
提示：利用xy的下界，注意x^2+y^2的最小值为1。
步骤 4/4
目标：计算S_max+S_min
S_max=7，S_min=1/2，所以S_max+S_min=7+1/2=15/2。
公式：7+1/2=15/2
提示：直接相加即可。
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