上海交通大学 2023年强基第2题
📝 题目
数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle a_{n+1}=a_{n}^{2}+a_{n}, \quad a_{0}=\frac{1}{4}$ ，求 $\displaystyle \sum_{n=0}^{2023} \frac{1}{a_{n}+1}$ 的整数部分 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
解析：$\displaystyle a_{n+1}=a_{n}\left(a_{n}+1\right) \Rightarrow \frac{1}{a_{n+1}}=\frac{1}{a_{n}\left(a_{n}+1\right)}=\frac{1}{a_{n}}-\frac{1}{a_{n+1}}$ $$ \frac{1}{a_{n+1}}=\frac{1}{a_{n}}-\frac{1}{a_{n+1}} $$ 显然 $a_{n+1}>a_{n}$ ，故 $\displaystyle a_{n} \geq a_{0}=\frac{1}{4}, a_{n}^{2} \geq \frac{1}{16}$ 从而 $\displaystyle a_{n+1}-a_{n}=a_{n}^{2} \geq \frac{1}{16}$ ，故 $a_{n} \geq 1$ 对 $n \geq 16$ 成立 从而 $\displaystyle \sum_{n=0}^{2023} \frac{1}{a_{n}+1}=\sum_{n=0}^{2023} \frac{1}{a_{n}}-\frac{1}{a_{n}+1}=\frac{1}{a_{0}}-\frac{1}{a_{2024}}=4-\frac{1}{a_{2024}}$ 由 $a_{2024}>1$ 。知上式的整数部分为 3 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将递推式变形为关于倒数的形式
由 a_{n+1}=a_n(a_n+1) 得 1/a_{n+1}=1/(a_n(a_n+1))=1/a_n - 1/(a_n+1)。
公式：1/a_{n+1}=1/a_n - 1/(a_n+1)
提示：注意裂项相消法的形式
步骤 2/5
目标：将所求求和转化为裂项相消
由上式得 1/(a_n+1)=1/a_n - 1/a_{n+1}，所以求和 ∑_{n=0}^{2023} 1/(a_n+1)=∑_{n=0}^{2023} (1/a_n - 1/a_{n+1})=1/a_0 - 1/a_{2024}。
公式：∑_{n=0}^{2023} 1/(a_n+1)=1/a_0 - 1/a_{2024}
提示：注意首项和末项
步骤 3/5
目标：计算 a_0 并代入
已知 a_0=1/4，所以 1/a_0=4，因此原式=4 - 1/a_{2024}。
公式：原式=4 - 1/a_{2024}
提示：代入数值
步骤 4/5
目标：估计 a_{2024} 的范围
由递推 a_{n+1}=a_n^2+a_n，且 a_0=1/4>0，可知数列递增。又 a_{n+1}-a_n=a_n^2≥1/16（当 n≥0 时 a_n≥1/4），故 a_n 增长很快，易得 a_{2024}>1。
公式：a_{n+1}-a_n=a_n^2≥1/16
提示：利用单调性和下界
步骤 5/5
目标：确定整数部分
因为 a_{2024}>1，所以 0<1/a_{2024}<1，故 3<4-1/a_{2024}<4，整数部分为3。
公式：3<原式<4
提示：注意不等式方向
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