上海交通大学 2023年强基第3题
📝 题目
$\displaystyle x=\min \left\{1, a, \frac{b}{a^{2}+b^{2}}\right\}, a, b \in R^{+}$，求 $x$ 的最大值。
💡 答案解析
解析：$\displaystyle x=\min \left\{1, a, \frac{b}{a^{2}+b^{2}}\right\}$ ．故 $\displaystyle a \geq x, \frac{b}{a^{2}+b^{2}} \geq x$ 从而 $\displaystyle x^{2} \leq \frac{a b}{a^{2}+b^{2}} \leq \frac{1}{2}$ ．故 $\displaystyle x \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$ ．在 $\displaystyle a=b=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时取到。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题意，设x为三个数的最小值
由定义，x = min{1, a, b/(a^2+b^2)}，所以x不大于每个数，即x ≤ 1, x ≤ a, x ≤ b/(a^2+b^2)。
公式：x = min{1, a, b/(a^2+b^2)}
提示：最小值意味着x小于等于每个数。
步骤 2/5
目标：利用x ≤ a和x ≤ b/(a^2+b^2)得到不等式
由x ≤ a得a ≥ x；由x ≤ b/(a^2+b^2)得b/(a^2+b^2) ≥ x，即b ≥ x(a^2+b^2)。
公式：a ≥ x, b ≥ x(a^2+b^2)
提示：将不等式转化为关于a,b的条件。
步骤 3/5
目标：推导x的上界
由b ≥ x(a^2+b^2)得x ≤ b/(a^2+b^2)。又a ≥ x，两边乘以b得ab ≥ xb，但更有效的是：由a ≥ x和b ≥ x(a^2+b^2)相乘得ab ≥ x^2(a^2+b^2)，即x^2 ≤ ab/(a^2+b^2)。
公式：x^2 ≤ ab/(a^2+b^2)
提示：注意不等式的方向，相乘时确保正数。
步骤 4/5
目标：利用基本不等式求ab/(a^2+b^2)的最大值
由基本不等式，a^2+b^2 ≥ 2ab，所以ab/(a^2+b^2) ≤ ab/(2ab)=1/2，当且仅当a=b时取等。
公式：a^2+b^2 ≥ 2ab ⇒ ab/(a^2+b^2) ≤ 1/2
提示：基本不等式取等条件：a=b。
步骤 5/5
目标：得到x的上界并验证取等条件
由x^2 ≤ ab/(a^2+b^2) ≤ 1/2得x ≤ √2/2。取等时需a=b且x=a且x=b/(a^2+b^2)，解得a=b=√2/2，此时x=√2/2，且x≤1成立。
公式：x ≤ √2/2
提示：验证所有条件同时成立。
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