上海交通大学 2023年强基第4题
📝 题目
$M=\{(x, y)| | x|+|y|\lt 1\}$ ， $\displaystyle P=\left\{(x, y) \left\lvert\, \sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}}+\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(y+\frac{1}{2}\right)^{2}}\lt 2 \sqrt{2}\right.\right\}$ $N=\{(x, y)| | x+y|\lt 1,|x|\lt 1,|y|\lt 1\}$ 求 $M, P, N$ 关系，如 $M \subset N \subset P$ 。
💡 答案解析
解析：在平面直角坐标系中表示： $\mu \Omega$ 
列： p： 
$N$ 
故可知 $M \subset N \subset P$
列： p： $N$ 故可知 $M \subset N \subset P$📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析集合M的几何意义
M表示以原点为中心，边长为√2的正方形内部（不含边界），即|x|+|y|<1。
公式：|x|+|y|<1
提示：该区域是菱形，顶点在坐标轴上。
步骤 2/6
目标：分析集合P的几何意义
P表示到两点(-1/2,1/2)和(1/2,-1/2)的距离之和小于2√2的点的集合，即椭圆内部。两焦点距离为√2，长轴长为2√2，短轴长为√6。
公式：√((x+1/2)^2+(y-1/2)^2)+√((x-1/2)^2+(y+1/2)^2)<2√2
提示：椭圆定义：到两定点距离之和为常数。
步骤 3/6
目标：分析集合N的几何意义
N由三个不等式组成：|x+y|<1, |x|<1, |y|<1。表示正方形区域内部，但|x+y|<1限制为两条平行线之间的带状区域，与|x|<1,|y|<1的交集。
公式：|x+y|<1, |x|<1, |y|<1
提示：先画|x|<1,|y|<1的大正方形，再取带状区域。
步骤 4/6
目标：比较M和N的关系
M的菱形区域完全包含在N的大正方形内，且满足|x+y|<1（因为|x|+|y|<1推出|x+y|≤|x|+|y|<1），所以M⊆N。
公式：|x+y|≤|x|+|y|
提示：利用绝对值不等式。
步骤 5/6
目标：比较N和P的关系
N的边界点(1,0)到两焦点距离和为√((1+0.5)^2+(0-0.5)^2)+√((1-0.5)^2+(0+0.5)^2)=√(2.25+0.25)+√(0.25+0.25)=√2.5+√0.5≈1.581+0.707=2.288<2√2≈2.828，所以(1,0)在P内。类似可验证N的顶点都在P内，且N的边界在P内部，故N⊆P。
公式：距离和计算
提示：验证关键点是否在椭圆内。
步骤 6/6
目标：确认包含关系严格成立
M是菱形，N是正方形截带状，P是椭圆。M的顶点(±1,0)和(0,±1)在N边界上？实际上(1,0)满足|x|=1，但N中|x|<1，所以(1,0)不在N内，但M内部点都在N内。N有角点如(0.9,0.9)满足|x+y|=1.8>1，不在N内，但可能在M内？实际上M中|x|+|y|<1，所以x+y≤|x|+|y|<1，故M⊂N。N中有点如(0.9,0)在N内但不在M内，所以M⊂N。类似，N⊂P。
提示：注意边界是否包含。
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