上海交通大学 2023年强基第5题
📝 题目
正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$M$ 是 $C_{1} D_{1}$ 中点，$O$ 是 $B D_{1}$ 中点，平面 $\beta$ 满足 $O M / /$ 平面 $\beta$ 且过 $B$ 点，平面 $\beta$ 异于平面 $B B_{1} C_{1} C, P$ 在平面 $\beta$ 内，若 $P$ 在正方形 $B B_{1} C_{1} C$ 内（包括边界）记 $A_{1} P$与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 成角度 $\theta$ ，求 $\tan \theta$ 最小值。
💡 答案解析
解析：由题知 $P$ 在 $B C_{1}$ 上， 从而 $\tan \theta$ 最小为 $\displaystyle \tan \angle A C_{1} B=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。 
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定点P的轨迹
由OM∥平面β且B∈β，得平面β过B且与OM平行。又β异于平面BB1C1C，故β与平面BB1C1C交于过B的直线。结合P在正方形BB1C1C内，得P在BC1上。
提示：利用线面平行性质，过B作OM的平行线，该线在平面BB1C1C内即为BC1。
步骤 2/4
目标：建立空间直角坐标系
以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BB1为z轴建立坐标系。设正方体棱长为1，则A(1,0,0), C1(0,1,1), B(0,0,0)。
提示：坐标轴方向选择使计算简便。
步骤 3/4
目标：表示A1P与平面BB1C1C的夹角θ
平面BB1C1C为yOz平面，法向量为(1,0,0)。设P在BC1上，参数t∈[0,1]，P(0,t,t)。A1(1,0,1)，则向量A1P=(-1,t,t-1)。sinθ=|A1P·n|/(|A1P||n|)=1/√(1+(t-1/2)^2+3/4)。
公式：sinθ = |A1P·n|/(|A1P||n|)
提示：注意θ是线面角，正弦值等于方向向量与法向量夹角余弦的绝对值。
步骤 4/4
目标：求tanθ的最小值
tanθ=sinθ/√(1-sin²θ)。由sinθ表达式，当t=1/2时sinθ最大，此时tanθ最小。计算得tanθ=√2/2。
公式：tanθ = sinθ/√(1-sin²θ)
提示：利用二次函数求最值。
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