上海交通大学 2023年强基第6题
📝 题目
椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ，左右焦点为 $F_{1}, F_{2}$ ，下顶点 $A$ ，连接 $A F_{2}$ 并延长交椭圆于 $B$ ，若 $|A B|=\left|B F_{1}\right|$ ，求离心率。
💡 答案解析
解析 ：$\left|A F_{1}\right|+\left|A F_{2}\right|=2 a$ $$ \begin{aligned} & \left|A F_{1}\right|=\left|A F_{2}\right|=a \\ & \left|B F_{2}\right|=\left|B F_{1}\right|-a \end{aligned} $$ 
$$ \begin{aligned} & 2 a=\left|B F_{2}\right|+\left|B F_{1}\right|=2\left|B F_{2}\right|-a \\ & \left|B F_{2}\right|=\frac{3}{2} a,\left|B F_{1}\right|=\frac{1}{2} a \end{aligned} $$ 在 $\triangle B F_{1} F_{2}$ 中由余弦定理
$$ \begin{aligned} & 2 a=\left|B F_{2}\right|+\left|B F_{1}\right|=2\left|B F_{2}\right|-a \\ & \left|B F_{2}\right|=\frac{3}{2} a,\left|B F_{1}\right|=\frac{1}{2} a \end{aligned} $$ 在 $\triangle B F_{1} F_{2}$ 中由余弦定理📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用椭圆定义求AF1和AF2
由椭圆定义，AF1+AF2=2a。由于A是下顶点，AF1=AF2=a。
公式：|AF1|+|AF2|=2a
提示：注意A在椭圆上，且F1、F2为焦点。
步骤 2/6
目标：利用条件AB=BF1建立关系
已知|AB|=|BF1|，且B在椭圆上，由椭圆定义有BF1+BF2=2a。又AB=AF2+BF2，代入得关系式。
公式：|AB|=|BF1|, |BF1|+|BF2|=2a
提示：注意AB是AF2延长线，所以AB=AF2+BF2。
步骤 3/6
目标：求解BF1和BF2的长度
由AF2=a，AB=BF1，得BF1=a+BF2。代入椭圆定义：a+BF2+BF2=2a，解得BF2=a/2，BF1=3a/2。
公式：BF1+BF2=2a, BF1=a+BF2
提示：解方程时注意符号。
步骤 4/6
目标：在三角形BF1F2中应用余弦定理
三角形BF1F2中，F1F2=2c，BF1=3a/2，BF2=a/2。由余弦定理：cos∠F1BF2=(BF1²+BF2²-F1F2²)/(2·BF1·BF2)。
公式：c²=a²-b², 余弦定理
提示：注意焦点在x轴上，F1F2=2c。
步骤 5/6
目标：利用B在椭圆上建立方程
设B坐标，由BF1和BF2长度关系，结合椭圆方程，可求得离心率。另一种方法：由余弦定理得cos∠F1BF2，再结合椭圆性质。
公式：椭圆方程
提示：也可用焦点三角形性质。
步骤 6/6
目标：求解离心率
由余弦定理：cos∠F1BF2=((3a/2)²+(a/2)²-(2c)²)/(2·(3a/2)·(a/2)) = (9a²/4+a²/4-4c²)/(3a²/2) = (10a²/4-4c²)/(3a²/2) = (5a²/2-4c²)/(3a²/2) = (5a²-8c²)/(3a²)。又由椭圆定义，B在椭圆上，有BF1+BF2=2a，已用。需另一条件：B在椭圆上，其坐标满足方程，但此处可用几何关系：∠F1BF2的余弦也可由向量或坐标求得。简化：由BF1=3a/2，BF2=a/2，且F1F2=2c，在三角形中，由余弦定理得cos∠F1BF2，但无直接值。实际上，利用椭圆第二定义或焦半径公式：B到左焦点距离为a+ex，到右焦点距离为a-ex，其中x为B的横坐标。设B(x,y)，则BF1=a+ex，BF2=a-ex。由BF1=3a/2，BF2=a/2，得a+ex=3a/2，a-ex=a/2，解得ex=a/2，即e·x=a/2。又B在椭圆上，x²/a²+y²/b²=1，且y由直线AF2方程确定。但更简单：由BF1+BF2=2a已用，且BF1-BF2=2ex=a，所以ex=a/2。又由椭圆方程，B的纵坐标可由直线AF2求得。直线AF2过A(0,-b)和F2(c,0)，方程y=(b/c)x-b。与椭圆联立，解得B坐标。但可跳过：由BF2=a-ex=a/2，得ex=a/2，即x=a/(2e)。代入椭圆得y²=b²(1-x²/a²)=b²(1-1/(4e²))。又B在直线上，y=(b/c)x-b=(b/(ae))·(a/(2e))-b=b/(2e²)-b。两式相等得b²(1-1/(4e²))=(b/(2e²)-b)²，化简得1-1/(4e²)=(1/(2e²)-1)²。令t=1/e²，则1-t/4=(t/2-1)²，展开得1-t/4=t²/4-t+1，两边乘4：4-t=t²-4t+4，整理得0=t²-3t，即t(t-3)=0，t=0（舍）或t=3，所以e²=1/3，e=√3/3。
公式：焦半径公式, 直线方程, 椭圆方程
提示：注意离心率范围0
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