上海交通大学 2023年强基第7题
📝 题目
圆 $x^{2}+y^{2}=R^{2}$ 与曲线 $\| x|-|y||=1$ 的所有交点依次连接可构成一个正多边形，求 $R$ 。
💡 答案解析
B 解析：由条件知 $y=x^{2}-c$ ，定义域为 $(-\infty,+\infty)$ ，故 $y$ 关于 $x$ 的图像的轨迹是抛物线，选 $B$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：分析曲线方程
曲线方程为 ||x|-|y||=1，即 |x|-|y|=±1。这表示四条直线：|x|-|y|=1 和 |x|-|y|=-1。
公式：||x|-|y||=1
提示：注意绝对值方程可分解为两个方程。
步骤 2/8
目标：绘制曲线图形
方程 |x|-|y|=1 表示两条直线：x-y=1 和 x+y=1 在第一、四象限的部分，以及 -x-y=1 和 -x+y=1 在第二、三象限的部分。类似地，|x|-|y|=-1 表示另外四条直线。整体图形是一个中心在原点的正方形，边与坐标轴成45度角，边长为2√2。
提示：考虑象限内符号，画出直线。
步骤 3/8
目标：确定交点条件
圆 x²+y²=R² 与曲线有交点，且所有交点依次连接构成正多边形。由于曲线是正方形，圆与正方形相交，交点应均匀分布在圆上，形成正多边形。
提示：正多边形顶点在圆上，且对称分布。
步骤 4/8
目标：考虑对称性
曲线关于x轴、y轴和原点对称，圆也对称。因此交点应关于坐标轴对称。可能构成正八边形或正四边形。
提示：利用对称性减少可能性。
步骤 5/8
目标：计算正八边形情况
若构成正八边形，则圆与正方形的每条边有两个交点，共8个点。此时圆的半径R等于正方形中心到顶点的距离，即R=√2。但需验证是否恰好8个交点。
公式：R = √2
提示：正方形顶点到中心距离为√2。
步骤 6/8
目标：计算正四边形情况
若构成正四边形，则圆与正方形的每条边有一个交点（切点）或与顶点相交。当圆过正方形顶点时，R=√2，但此时顶点处交点重合，实际只有4个点，构成正方形。
提示：顶点到中心距离为√2。
步骤 7/8
目标：验证其他可能
当圆半径小于√2时，与正方形无交点或只有4个交点（与边相交），但交点不一定构成正多边形。当R=1时，圆与正方形相切于各边中点，构成正四边形。
公式：R=1
提示：边中点到中心距离为1。
步骤 8/8
目标：确定R值
经分析，R=1时，圆与正方形各边中点相切，四个切点构成正方形；R=√2时，圆过正方形顶点，四个顶点构成正方形。但题目要求所有交点依次连接构成正多边形，R=1时交点只有4个，构成正方形；R=√2时也是4个点构成正方形。但还需考虑是否可能构成正八边形？当R=√2时，圆与正方形每条边有两个交点？实际上，圆与正方形边相交时，每条边最多两个交点，但R=√2时，圆过顶点，顶点处两个交点重合，所以仍是4个点。因此R=1或√2。但答案选项通常只有一个，需根据题目条件判断。
提示：注意交点个数和正多边形边数。
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