上海交通大学 2023年强基第8题
📝 题目
任给一组整数，必能找出三个数，它们三个数的和可被 3 整除，则这组整数的个数至少为 $\_\_\_\_$个。
💡 答案解析
解析： 5 个，若模 3 的每个余数均有，则各选一个． $$ \text { 否则由抽屉原理, 必有 } 3 \text { 个数同余. 选出 } 4 \text { 的反例 1.1.2.2。 } $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解问题：从任意一组整数中，总能找到三个数，其和能被3整除，求这组整数的最小个数。
题目要求找出一个最小整数n，使得任意n个整数中，必存在三个数，它们的和是3的倍数。
提示：考虑模3的余数分类。
步骤 2/6
目标：将整数按模3的余数分为三类：余0、余1、余2。
每个整数除以3，余数只能是0、1、2。因此，所有整数可归入三个集合：A（余0）、B（余1）、C（余2）。
提示：利用抽屉原理。
步骤 3/6
目标：分析三种情况：三个数来自同一类，或来自三个不同类。
若三个数同余，则和能被3整除（因为3×余数≡0 mod 3）。若三个数分别来自不同类，则和≡0+1+2≡0 mod 3。
提示：这是解题的关键。
步骤 4/6
目标：构造反例：4个整数可能不满足条件。
例如：1,1,2,2（模3余1,1,2,2）。任意三个数：要么两个1一个2（和≡1+1+2≡1 mod 3），要么两个2一个1（和≡2+2+1≡2 mod 3），均不被3整除。
提示：说明n=4不成立。
步骤 5/6
目标：证明n=5时必成立。
5个数模3的余数分布。若三类都有，则各取一个即满足。否则，某类至少3个数（抽屉原理），取这三个同余数即可。
公式：抽屉原理：5个物体放入3个抽屉，至少一个抽屉有⌈5/3⌉=2个，但这里需要3个，所以考虑分布。
提示：分类讨论。
步骤 6/6
目标：得出结论：最小个数为5。
由反例知4不行，由证明知5可行，故答案为5。
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