上海交通大学 2023年强基第9题
📝 题目
$\displaystyle \alpha \in\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)$ ，比较 $(\cos \alpha)^{\sin \alpha},(\sin \alpha)^{\sin \alpha},(\cos \alpha)^{\cos \alpha}$ 大小。
💡 答案解析
解析： $\sin \alpha\gt \cos \alpha \quad$ 故 $(\cos \alpha)^{\sin \alpha}\lt (\cos \alpha)^{\cos \alpha}$ 令 $f(x)=x \ln x, g(x)=f(x)-f(1-x)=x \ln x-(1-x) \ln (1-x)$ $g^{\prime}(x)=\ln x+1-(-\ln (1-x)+(-1))=\ln x+\ln (1-x)+2$ $=\ln x(1-x)+2$ 在 $\displaystyle \left(\frac{1}{2}, 0\right)$ 上线大于 0 后小于 0 故 $g(x)$ 先增后减 $\displaystyle \quad g\left(\frac{1}{2}\right)=g(1)=0$ 故 $g(x) \geq 0 \quad f(\sin \alpha)\gt f(1-\sin \alpha)\gt f(\cos \alpha)$ （因为 $\displaystyle \frac{1}{e}\gt 1-\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{2-\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow \frac{2}{2-\sqrt{2}}\gt e \Rightarrow 2+\sqrt{2}\gt e$ 成立）。
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：确定sinα和cosα的大小关系
由于α∈(π/4, π/2)，sinα > cosα。
提示：利用正弦余弦在区间内的单调性。
步骤 2/7
目标：比较(cosα)^(sinα)与(cosα)^(cosα)
底数cosα∈(0,1)，指数sinα>cosα，故(cosα)^(sinα) < (cosα)^(cosα)。
公式：当0
提示：注意底数小于1时指数越大值越小。
步骤 3/7
目标：构造函数f(x)=xlnx，并考虑g(x)=f(x)-f(1-x)
令f(x)=xlnx，定义g(x)=f(x)-f(1-x)=xlnx-(1-x)ln(1-x)，x∈(0,1)。
公式：g(x)=xlnx-(1-x)ln(1-x)
提示：通过取对数比较幂的大小。
步骤 4/7
目标：分析g(x)的单调性
求导得g'(x)=lnx+ln(1-x)+2=ln[x(1-x)]+2。在(0,1/2)上，x(1-x)先增后减，g'(x)先正后负，故g(x)先增后减。
公式：g'(x)=ln[x(1-x)]+2
提示：注意定义域和导数符号变化。
步骤 5/7
目标：确定g(x)的零点
计算g(1/2)=0，g(1)=0（极限），且g(x)在(0,1/2)先增后减，故g(x)≥0。
公式：g(1/2)=0
提示：利用端点值判断函数符号。
步骤 6/7
目标：应用g(x)比较f(sinα)和f(cosα)
由于sinα>1/2，且1-sinα=cosα，由g(x)≥0得f(sinα)≥f(cosα)，即sinα^(sinα)≥cosα^(cosα)。
公式：f(sinα)≥f(cosα) ⇒ (sinα)^(sinα) ≥ (cosα)^(cosα)
提示：注意等号仅在sinα=1/2时成立，但α∈(π/4,π/2)时sinα>√2/2>1/2，故严格大于。
步骤 7/7
目标：综合比较三个数的大小
由前两步得：(cosα)^(sinα) < (cosα)^(cosα) ≤ (sinα)^(sinα)，故最小为(cosα)^(sinα)，最大为(sinα)^(sinα)。
提示：注意中间值(cosα)^(cosα)的大小关系。
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