上海交通大学 2023年强基第10题
📝 题目
曲线 $2(4 \sin \theta-\cos \theta+1) x^{2}-(-\sin \theta+4 \cos \theta+3) y=0$ 与 $y=2 x$ 交于 $A, B$ 两点，取遍 $\theta$ 的值，求 $|A B|_{\text {max }}$ 。
💡 答案解析
解析：$(\sin \theta-\cos \theta+1) x^{2}-(-\sin \theta+4 \cos \theta+3) x=0$ $$ \begin{aligned} & A(0,0) \\ & B\left(\frac{-\sin \theta+4 \cos \theta+3}{4 \sin \theta-\cos \theta+1}, \frac{2(-\sin \theta+4 \cos \theta+3)}{4 \sin \theta-\cos \theta+1}\right) \\ & \text { 令 } t=\frac{-\sin \theta+4 \cos \theta+3}{4 \sin \theta-\cos \theta+1} \end{aligned} $$ 题目有问题 $\theta \rightarrow 0, t \rightarrow+\infty$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：联立曲线与直线方程
将 y=2x 代入曲线方程，消去 y，得到关于 x 的方程：2(4sinθ-cosθ+1)x² - (-sinθ+4cosθ+3)(2x)=0，化简得 (4sinθ-cosθ+1)x² - (-sinθ+4cosθ+3)x=0。
公式：y=2x
提示：注意代入后合并同类项
步骤 2/5
目标：求解交点坐标
方程 x[(4sinθ-cosθ+1)x - (-sinθ+4cosθ+3)]=0，得 x=0 或 x=(-sinθ+4cosθ+3)/(4sinθ-cosθ+1)。对应 y=0 或 y=2x。所以 A(0,0)，B(t,2t)，其中 t=(-sinθ+4cosθ+3)/(4sinθ-cosθ+1)。
公式：x=0 或 x=t
提示：注意分母不为0
步骤 3/5
目标：计算|AB|表达式
|AB| = √[(t-0)²+(2t-0)²] = √(5t²) = √5 |t|。因此|AB|的最大值即√5乘以|t|的最大值。
公式：|AB|=√5|t|
提示：距离公式简化
步骤 4/5
目标：分析t的取值范围
t = (-sinθ+4cosθ+3)/(4sinθ-cosθ+1)。分子分母均为sinθ和cosθ的线性组合。考虑θ取遍所有实数，分母可能为零，此时t趋于无穷大，|AB|无上界。
公式：t表达式
提示：注意分母为零的情况
步骤 5/5
目标：判断最大值是否存在
当分母4sinθ-cosθ+1=0时，t无定义，但极限情况t→∞，|AB|→∞。因此|AB|无最大值，题目可能有问题。例如θ→0时，t→(3+4)/(1-1?) 实际计算：θ=0，t=(0+4+3)/(0-1+1)=7/0，无穷大。
公式：分母为零
提示：验证特殊角
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