上海交通大学 2023年强基第13题
📝 题目
复旦大学三位一体骰子抛三次，点数为 $a_{1}, a_{2}, a_{3},\left|a_{1}-a_{2}\right|+\left|a_{2}-a_{3}\right|+\left|a_{3}-a_{1}\right|=6$ 的概率是多少？
💡 答案解析
解析： 2 个相同：1．1．4 2．2．5 3．3．6
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：理解题意，明确随机试验和事件
抛掷骰子三次，每次结果1-6，共有6^3=216种等可能结果。事件为三个点数满足|a1-a2|+|a2-a3|+|a3-a1|=6。
公式：总可能数 = 6^3 = 216
提示：注意三个绝对值之和等于两倍的最大差，即2*(max-min)=6，所以max-min=3。
步骤 2/8
目标：将条件转化为最大最小差为3
设最大值为M，最小值为m，则|a1-a2|+|a2-a3|+|a3-a1| = 2(M-m)=6，故M-m=3。即三个数中最大值与最小值相差3。
公式：2(M-m)=6 ⇒ M-m=3
提示：利用绝对值性质：三个数两两差的绝对值之和等于两倍的最大差。
步骤 3/8
目标：分类讨论三个数的取值情况
由于M-m=3，且骰子点数1-6，可能的数对(m,M)有：(1,4),(2,5),(3,6)。每个数对下，第三个数必须在[m,M]内，且三个数不全相等（否则差为0）。
提示：注意三个数可以有两个相同或全不同，但必须满足最大最小差为3。
步骤 4/8
目标：计算每种数对下的可能组合数
对于(1,4)：第三个数可为1,2,3,4。但需排除三个数全相等（无），且考虑排列。实际计算：三个数中至少有一个1和一个4，第三个数从1-4中选，但需保证最大最小为1和4。
提示：更简单：三个数取自集合{1,2,3,4}，且必须包含1和4。
步骤 5/8
目标：计算(1,4)情况下的有序三元组个数
三个数取自{1,2,3,4}，且必须同时有1和4。总共有4^3=64种，减去不含1的3^3=27，减去不含4的3^3=27，加上既不含1也不含4的2^3=8，得64-27-27+8=18。但还需排除最大最小不是1和4的情况？实际上这样算出的三元组中最大最小可能不是1和4？检查：若三个数不含1或4，则最大最小差小于3，但我们的条件要求差为3，所以必须同时有1和4。所以18就是满足条件的个数。
公式：包含1和4的三元组数 = 4^3 - 2*3^3 + 2^3 = 18
提示：使用容斥原理。
步骤 6/8
目标：同理计算(2,5)和(3,6)情况
对于(2,5)：三个数取自{2,3,4,5}，必须同时有2和5，同样有18种。对于(3,6)：三个数取自{3,4,5,6}，必须同时有3和6，也是18种。
提示：对称性。
步骤 7/8
目标：计算总有利结果数
三种情况共18+18+18=54种。注意是否有重复？不同数对之间没有重叠，因为最大最小值不同。所以有利结果数为54。
公式：有利结果数 = 3 * 18 = 54
提示：检查是否重复：例如(1,4)和(2,5)不可能同时成立。
步骤 8/8
目标：计算概率
概率 = 有利结果数 / 总可能数 = 54 / 216 = 1/4。
公式：P = 54/216 = 1/4
提示：化简分数。
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