上海交通大学 2023年强基第14题
📝 题目
取正方体六个面的中点，连成八面体，该八面体与正方体体积之比？
💡 答案解析
解析：$\displaystyle \frac{V}{V_{\text {正 }}}=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{6}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定正方体与八面体的几何关系
取正方体六个面的中心点，连接相邻面的中心点，构成一个正八面体。该八面体的顶点位于正方体各面中心。
提示：注意八面体的顶点是正方体面的中心，而非顶点。
步骤 2/6
目标：计算八面体的棱长与正方体棱长的关系
设正方体棱长为a，则面中心到相邻面中心的距离为面对角线的一半，即棱长l = (√2/2)a。
公式：l = (√2/2)a
提示：利用正方形对角线公式。
步骤 3/6
目标：计算八面体的体积
正八面体可视为两个正四棱锥拼接，底面为正方形，边长为l，高为l/√2。每个棱锥体积为(1/3)*(l^2)*(l/√2)=l^3/(3√2)，总体积V=2*l^3/(3√2)= (√2/3)l^3。代入l=(√2/2)a得V=(√2/3)*((√2/2)a)^3=(√2/3)*(√2/8)a^3=(1/12)a^3。
公式：V = (1/12)a^3
提示：注意正八面体体积公式也可直接使用。
步骤 4/6
目标：计算正方体体积
正方体体积V正 = a^3。
公式：V正 = a^3
步骤 5/6
目标：求体积比
八面体与正方体体积之比为 (1/12)a^3 : a^3 = 1/12。但答案给出1/6，需检查：实际上八面体体积应为(1/6)a^3？重新计算：正八面体体积公式V=(√2/3)l^3，l=(√2/2)a，则V=(√2/3)*(√2/2)^3 a^3=(√2/3)*(√2/8)a^3=(2/24)a^3=(1/12)a^3。但常见结果：正方体内接八面体体积为正方体体积的1/6。错误在于：八面体顶点是各面中心，但八面体并非完全内接？实际上，该八面体是正方体切去八个角所得，体积为正方体体积的1/6。正确计算：正方体体积a^3，切去八个三棱锥，每个体积为(1/3)*(1/2)*(a/2)^3 = a^3/48，八个共a^3/6，剩余体积为a^3 - a^3/6 = 5a^3/6？不对。标准结果：连接各面中心所得八面体体积为正方体体积的1/6。重新推导：八面体可视为由正方体中心向各面中心连线构成，其体积为两个四棱锥，每个底面积为正方形面积的一半？更简单：八面体体积 = (1/3) * 底面积 * 高 * 2，底面积为正方体一个面的面积的一半？实际上，八面体的底面是正方体中心截面，边长为(√2/2)a，面积为(1/2)a^2，高为a/2，则体积 = (1/3)*(1/2)a^2*(a/2)*2 = (1/6)a^3。所以正确体积比为1/6。
公式：V八 = (1/6)a^3
提示：注意八面体底面是正方形，边长为面对角线的一半，面积为a^2/2。
步骤 6/6
目标：得出最终比值
八面体体积与正方体体积之比为 (1/6)a^3 : a^3 = 1/6。
公式：V八 / V正 = 1/6
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