上海交通大学 2022年强基第1题
📝 题目
等比数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}, a_{1}=-3, \frac{S_{6}-7}{S_{3} 8}, \lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}=$ 。 A．不存在 B．$\displaystyle \frac{2}{3}$ C．$\displaystyle -\frac{2}{3}$ D．-2
💡 答案解析
解：考虑正整数 $\bmod 8$ 的余数列 $\{1,2,3,4,-3,-2,-1,0\}$ ，以及 $2022=253 \times 8+(-2)$ ，即正整数列 $\{1,2, \cdots, 2022\}$ 遍历上述余数列 252 次，以及最后一次非遍历余数列为 $\{1,2,3,4,-3,-2$,$\} ，题目要求$所取 $n$ 个正整数中任意两数之和不能被 8 整除，即所取 $n$ 个正整数中 $\bmod 8$ 余 0 至多出现 1 次， $\bmod 8$ 余 4 至多出现 1 次，并且 $\bmod 8$ 余 $i$ 出现当且仅当 $\bmod 8$ 余 $-i$ 不出现 $(i=1,2,3)$ ，于是这样的 $n$ 最大值为 $1+1+253 \times 3=761$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定等比数列公比q
由条件S6-7/S3=8，即(S6-7)/S3=8，得S6-7=8S3，即S6=8S3+7。代入等比数列求和公式：a1(1-q^6)/(1-q)=8*a1(1-q^3)/(1-q)+7，化简得(1-q^6)=8(1-q^3)+7(1-q)/a1。代入a1=-3，得1-q^6=8(1-q^3)-7(1-q)/3。整理得3(1-q^6)=24(1-q^3)-7(1-q)。
公式：S_n = a1(1-q^n)/(1-q)
提示：注意分母1-q不为0，需考虑q=1情况
步骤 2/5
目标：求解公比q
展开并整理方程：3(1-q^6)=24(1-q^3)-7(1-q)。令x=q^3，则q^6=x^2，1-q^6=1-x^2，1-q^3=1-x。方程化为3(1-x^2)=24(1-x)-7(1-q)。注意右边有1-q，需用x表示q：q=x^(1/3)，但不易处理。尝试因式分解：原方程可化为3(1-q)(1+q+q^2+...+q^5)=24(1-q)(1+q+q^2)-7(1-q)。若q≠1，两边除以(1-q)得3(1+q+q^2+q^3+q^4+q^5)=24(1+q+q^2)-7。整理得3q^3+3q^4+3q^5=21(1+q+q^2)-7？重新计算：左边3(1+q+...+q^5)=3+3q+3q^2+3q^3+3q^4+3q^5，右边24(1+q+q^2)-7=24+24q+24q^2-7=17+24q+24q^2。移项得3q^3+3q^4+3q^5=14+21q+21q^2。除以公因子？尝试代入q=-1/2？
公式：立方和公式
提示：尝试特殊值或因式分解
步骤 3/5
目标：简化方程并求解q
将方程3(1-q^6)=24(1-q^3)-7(1-q)移项得3-3q^6=24-24q^3-7+7q，即-3q^6+24q^3-7q-14=0，乘以-1得3q^6-24q^3+7q+14=0。观察q=-1时，3-24-7+14=-14≠0；q=2时，192-192+14+14=28≠0；q=1/2时，3/64-24/8+7/2+14=3/64-3+3.5+14=14.5-3+0.046875=11.546875≠0。尝试q=-1/2：3/64 -24/(-8)+7/(-2)+14=3/64+3-3.5+14=13.5+0.046875=13.546875≠0。可能q=1？但q=1时分母为0，需单独考虑。若q=1，则S6=6a1=-18，S3=3a1=-9，则(S6-7)/S3=(-18-7)/(-9)=25/9≠8，故q≠1。
公式：因式分解
提示：尝试有理根定理
步骤 4/5
目标：重新审视条件，可能题目有误？
原题条件为(S6-7)/S3=8，但可能误写。常见题型中，条件常为S6/S3=？或S6-7S3=0等。若条件为S6/S3=8，则(1-q^6)/(1-q^3)=8，即1+q^3=8，q^3=7，q=∛7，极限不存在。若条件为S6-7S3=0，则S6=7S3，得1+q^3=7，q^3=6，q=∛6，极限不存在。若条件为(S6-7)/S3=8，则如上复杂。可能题目期望q=-1/2？代入验证：q=-1/2时，S6=a1(1-q^6)/(1-q)=-3*(1-1/64)/(1+1/2)=-3*(63/64)/(3/2)=-3*(63/64)*(2/3)=-63/32，S3=-3*(1-(-1/8))/(1+1/2)=-3*(9/8)/(3/2)=-3*(9/8)*(2/3)=-9/4，则(S6-7)/S3=(-63/32-7)/(-9/4)=(-63/32-224/32)/(-9/4)=(-287/32)*(-4/9)=1148/288=287/72≈3.986≠8。故q=-1/2不满足。
提示：检查题目条件是否准确
步骤 5/5
目标：假设题目条件为S6/S3=8，求解极限
若条件为S6/S3=8，则(1-q^6)/(1-q^3)=8，即1+q^3=8，q^3=7，q=∛7>1，故|q|>1，极限lim Sn不存在。答案为A。
公式：S_n = a1(1-q^n)/(1-q)
提示：|q|>1时Sn发散
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