上海交通大学 2022年强基第2题
📝 题目
集合 $A=\{1,2, t\}, B=\left\{a^{2} \mid a \in A\right\}, C=A \cup B$ ，且 $C$ 中元素和为 6，则元素积为 。 A． 1 B．-1 C． 8 D．-8
💡 答案解析
答案：D 【解析】 $A=\{1,2, t\} B=\{1,4\} \cup\left\{t^{2}\right\} A \cup B=\{1,2,4\} \cup\{t\} \cup\left\{t^{2}\right\}$ ． 若 $t=4 . A \cup B=\{1,2,4,16\}$ ．舍若 $t \neq 4 . A \cup B=\{1,2,4, t\} \cup\left\{t^{2}\right\}$ 若 $t^{2} \in\{1,2,4, t\}$ 由已知 $1+2+4+t=6 t=-1$ ．符合 若 $t^{2} \notin\{1,2,4, t\} . \quad 1+2+4+t+t^{2}=6$ ． $$ t^{2}+t+1=0\left(t+\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{3}{4}=0 \text { (舍) } $$ 元素之积 $1 \times 2 \times 4 \times(-1)=-8$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：确定集合B的元素
由A={1,2,t}，B={a^2|a∈A}，得B={1,4,t^2}。
公式：B = {a^2 | a∈A}
提示：注意t^2可能等于1或4，需分类讨论。
步骤 2/8
目标：写出C=A∪B
C = A∪B = {1,2,4}∪{t}∪{t^2}，但需考虑重复元素。
公式：C = A∪B
提示：合并时注意集合元素的互异性。
步骤 3/8
目标：分类讨论t=4的情况
若t=4，则C={1,2,4,16}，元素和为1+2+4+16=23≠6，舍去。
提示：t=4时t^2=16，集合元素为1,2,4,16。
步骤 4/8
目标：分类讨论t≠4的情况
若t≠4，则C={1,2,4,t,t^2}，但需考虑t^2是否等于1,2,4或t。
提示：t^2可能等于1,2,4或t，需分情况。
步骤 5/8
目标：子情况1：t^2属于{1,2,4,t}
此时C={1,2,4,t}，元素和为1+2+4+t=6，解得t=-1。验证：t=-1时，t^2=1，与1重复，符合。
公式：1+2+4+t=6
提示：t=-1时，集合元素为1,2,4,-1。
步骤 6/8
目标：子情况2：t^2不属于{1,2,4,t}
此时C={1,2,4,t,t^2}，元素和为1+2+4+t+t^2=6，即t^2+t+1=0，判别式Δ=1-4=-3<0，无实数解，舍去。
公式：t^2+t+1=0
提示：二次方程无实根，故无解。
步骤 7/8
目标：计算元素积
由t=-1，C={1,2,4,-1}，元素积为1×2×4×(-1)=-8。
公式：乘积 = 1×2×4×(-1)
提示：注意符号。
步骤 8/8
目标：得出答案
元素积为-8，对应选项D。
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