上海交通大学 2022年强基第3题

解：由于 $5+4 \sin x \geq 5+4 \times(-1)\gt 0$ ，则 $f$ 的定义域为 $\mathbb{R}$ 。由周期性只需考虑 $x \in[-\pi, \pi]$ ，注意 $\displaystyle f(0)=\frac{1}{\sqrt{5}}\gt 0$ ，则 $f$ 的最大值必大于 0 ，则只需考虑 $x \in[-\pi / 2, \pi / 2]$ ，注意 $\forall x \in[0, \pi / 2], f(x) \leq f(-x)$ ，则只需考虑 $x \in[-\pi / 2,0]$ ，此时 $\displaystyle f(x)=\sqrt{\frac{1-\sin ^{2} x}{5+4 \sin x}}$ ，记． $t=5+4 \sin x \in[1,5]$ ，则 $\displaystyle f(x)=\sqrt{-\frac{1}{16}\left(t+\frac{9}{t}\right)+\frac{5}{8}}$ ， 当 $t=3$ 时，$\displaystyle \left(t+\frac{9}{t}\right)_{\text {min }}=6$ ，即 $\displaystyle f_{\text {max }}=\frac{1}{2}$ 。