上海交通大学 2022年强基第4题
📝 题目
$x, y, z$ 为正数，求 $\displaystyle \frac{10 x^{2}+10 y^{2}+z^{2}}{x y+y z+x z}$ 的最小值 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
【解析】 $\displaystyle 10 x^{2}+10 y^{2}+z^{2}=2 x^{2}+2 y^{2}+8 x^{2}+\frac{1}{2} z^{2}+8 y^{2}+\frac{1}{2} z^{2} \geq 2 \cdot 2 x y+2 \cdot 2 x z+2 \cdot 2 y z= 4(x y+x z+y z)$ $\displaystyle \frac{10 x^{2}+10 y^{2}+z^{2}}{x y+x z+y z} \geqslant 4$ 当 $x=y, z=4 y$ 时取到 4 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将分子拆分为适合应用基本不等式的形式
将10x²+10y²+z²拆分为2x²+2y²+8x²+z²/2+8y²+z²/2，以便与分母中的项配对。
公式：10x²+10y²+z² = 2x²+2y²+8x²+z²/2+8y²+z²/2
提示：拆分系数时，注意使后续不等式能产生xy、xz、yz项。
步骤 2/4
目标：对每组应用基本不等式
应用基本不等式：2x²+2y² ≥ 4xy，8x²+z²/2 ≥ 4xz，8y²+z²/2 ≥ 4yz。
公式：2x²+2y² ≥ 4xy，8x²+z²/2 ≥ 4xz，8y²+z²/2 ≥ 4yz
提示：基本不等式a²+b² ≥ 2ab，注意系数匹配。
步骤 3/4
目标：求和得到分子下界
将三个不等式相加得：10x²+10y²+z² ≥ 4(xy+xz+yz)。
公式：10x²+10y²+z² ≥ 4(xy+xz+yz)
提示：等号成立条件：x=y且z=4y。
步骤 4/4
目标：求原式的最小值
原式 = (10x²+10y²+z²)/(xy+xz+yz) ≥ 4，当x=y且z=4y时取等。
公式：最小值 = 4
提示：验证取等条件：代入x=y=1，z=4，得分子=10+10+16=36，分母=1+4+4=9，比值为4。
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