上海交通大学 2022年强基第5题

解：当 $0\lt a\lt 1$ 时，$y=a^{x}$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调减，而 $y=x$ 在 R 上单调增，故两者图像至多有一个交点。现设 $a\gt 1$ ，于是条件等价于 $\displaystyle \ln a=\frac{\ln x}{x}$ 在 $x \in(0,+\infty)$ 上有两解。考虑函数 $\displaystyle f(x)=\frac{\ln x}{x}(x \in(0,+\infty))$ ，则 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{1-\ln x}{x^{2}}$ ，故当 $x \in(0, \mathrm{e})$ 时，$f$ 单调增，且 $\left.f\right|_{(0,1)}\lt 0,\left.f\right|_{(1, e)}\gt 0$ ；当 $x \in(e,+\infty)$ 时，$f$ 单调减，且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ，因此 $\displaystyle \ln a=\frac{\ln x}{x}$ 在 $x \in(0,+\infty)$上有两解等价于 $\displaystyle 0\lt \ln a\lt f(e)=\frac{1}{e}$ ，即 $a$ 的取值范围为 $\displaystyle \left(1, e^{\frac{1}{e}}\right)$ 。