上海交通大学 2022年强基第6题
📝 题目
$3^{x-3}+(x-3) \sin (x-3)+K \cos (x-3)=0$ ，仅有唯一解，则 $K$ 有 $\_\_\_\_$个。
💡 答案解析
【解析】即 $\displaystyle k=\frac{3^{x-3}+(x-3) \sin (x-3)}{\cos (x-3)}$ 只有一个解 根据图像不只有一个解对任意 k 
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：将方程转化为函数形式
将原方程变形为 K = -[3^{x-3} + (x-3) sin(x-3)] / cos(x-3)，即 K = -f(x)，其中 f(x) = [3^{x-3} + (x-3) sin(x-3)] / cos(x-3)。
公式：K = -\frac{3^{x-3}+(x-3)\sin(x-3)}{\cos(x-3)}
提示：注意 cos(x-3) ≠ 0，即 x ≠ 3 + π/2 + nπ。
步骤 2/7
目标：分析函数 f(x) 的奇偶性和周期性
令 t = x-3，则 f(t) = [3^t + t sin t] / cos t。f(-t) = [3^{-t} - t sin t] / cos t，非奇非偶。但注意 3^t 增长快，整体无周期性。
公式：t = x-3, f(t) = \frac{3^t + t\sin t}{\cos t}
提示：换元简化表达式。
步骤 3/7
目标：考虑函数 g(t) = 3^t + t sin t 的零点
当 t=0 时，g(0)=1，不为零。当 t 很大时，3^t 主导，g(t)>0；当 t 很负时，3^t 趋近0，但 t sin t 振荡，g(t) 可能正负交替。
公式：g(t) = 3^t + t\sin t
提示：注意指数增长与三角振荡的叠加。
步骤 4/7
目标：分析 f(t) 的渐近线
当 cos t = 0 时，即 t = π/2 + nπ，f(t) 有垂直渐近线。在这些点附近，f(t) 趋于无穷，符号取决于分子和分母的符号。
公式：t = \frac{\pi}{2} + n\pi, n \in \mathbb{Z}
提示：渐近线将定义域分成多个区间。
步骤 5/7
目标：判断方程有唯一解的条件
原方程有唯一解等价于直线 y = K 与曲线 y = -f(t) 有且仅有一个交点。由于 f(t) 在每个区间内单调性复杂，但注意到 t=0 时 f(0)=1，且 f(t) 在 t=0 附近连续。
公式：y = K 与 y = -f(t) 交点个数
提示：考虑函数值域和渐近线。
步骤 6/7
目标：利用对称性和特殊点
观察发现，若 t 是解，则 -t 不一定是对称解。但注意当 t=0 时，f(0)=1，对应 K=-1。另外，由于 3^t 增长快，当 t 很大时，f(t) 很大，-f(t) 很小，所以 K 很大时可能无解。
公式：f(0)=1
提示：特殊点往往提供关键信息。
步骤 7/7
目标：确定 K 的取值个数
通过图像分析，曲线 y = -f(t) 在每个区间内单调，且值域覆盖全体实数。但注意，由于指数增长，当 K 取某些值时，可能有两个交点。实际上，只有 K = -1 时，方程有唯一解 t=0。因此 K 有 1 个。
公式：K = -1
提示：结合图像和单调性判断。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。