上海交通大学 2022年强基第7题
📝 题目
直线 $k x+4 y=1$ 垂直于 $\left\{\begin{array}{l}x=2-3 t \\ y=1+4 t\end{array}\right.$（ $t$ 为参数），$k=$ 。 A． 3 B．-3 C．$\displaystyle \frac{1}{3}$ D．$\displaystyle -\frac{1}{3}$
💡 答案解析
答案 B，【解析】 $$ \begin{aligned} y & =1+4 t \\ & =1+4 \frac{2-x}{3} \\ & =-\frac{4}{3} x+\frac{11}{3} \\ y & =-\frac{k}{4} x+\frac{1}{4} . \end{aligned} $$ 恓有伐垂有 $\displaystyle -\frac{4}{3} \cdot\left(-\frac{k}{4}\right)=-1$ ． $$ k=-3 $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将参数方程化为普通方程
由参数方程 x=2-3t, y=1+4t，消去参数 t：t=(2-x)/3，代入 y 得 y=1+4*(2-x)/3 = -4x/3 + 11/3。
公式：y = -4x/3 + 11/3
提示：消参时注意符号和系数
步骤 2/4
目标：将直线方程化为斜截式
直线 kx+4y=1 化为 y = -k/4 x + 1/4。
公式：y = -k/4 x + 1/4
提示：移项后除以4
步骤 3/4
目标：利用垂直条件建立方程
两直线垂直，斜率乘积为-1。第一条直线斜率 m1 = -4/3，第二条斜率 m2 = -k/4，所以 (-4/3)*(-k/4) = -1。
公式：m1 * m2 = -1
提示：注意斜率不存在的情况，此处均存在
步骤 4/4
目标：解方程求k
计算 (-4/3)*(-k/4) = k/3 = -1，解得 k = -3。
公式：k/3 = -1 ⇒ k = -3
提示：两边乘以3
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