上海交通大学 2022年强基第8题
📝 题目
一正四面体容器平放于水平桌面上，向里装入水至到达高的 $\displaystyle \frac{1}{2}$ 处，再将其倒置，此时水的高度为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
【解析】由已知，没水的部分是正四面体体积 $\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^{3}=\frac{1}{8}$ 因此水占了正四面体 $\displaystyle \frac{7}{8}$ 设倒过来后占高为 $\alpha$ 倍 $\displaystyle \alpha^{3}=\frac{7}{8} \alpha=\frac{\sqrt[3]{7}}{2}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析正四面体容器平放时水的体积占比
正四面体容器平放时，水面到达高的1/2处，根据相似比，没水部分（上部小正四面体）的高为原高的1/2，体积为原体积的(1/2)^3=1/8，因此水的体积占原体积的7/8。
公式：V_小/V_大 = (h_小/h_大)^3
提示：注意相似比与体积比的关系：体积比等于相似比的立方。
步骤 2/4
目标：建立倒置后水的高度与体积的关系
倒置后，容器顶点朝下，水填充底部，设水的高度为原高的α倍，则水所占的小正四面体与原容器相似，体积比为α^3，且等于水的体积占比7/8。
公式：α^3 = 7/8
提示：倒置后水的形状仍为正四面体，与容器相似。
步骤 3/4
目标：求解α的值
由α^3 = 7/8，得α = ∛(7/8) = ∛7 / 2。
公式：α = ∛(7/8) = ∛7 / 2
提示：开立方时注意分母8开立方为2。
步骤 4/4
目标：得出倒置后水的高度
水的高度为原高的α倍，即原高的∛7/2倍。
公式：h_水 = (∛7/2) * h_原
提示：最终答案用分数或根式表示。
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