上海交通大学 2022年强基第9题
📝 题目
$\displaystyle f(x)=\cos \left(\omega x-\frac{\pi}{6}\right)(\omega\gt 0), f(x) \leq f\left(\frac{\pi}{4}\right)$ 对 $\forall x \in R$ 恒成立，则 $\omega$ 最小值为（ ）。 A．$\displaystyle \frac{3}{2}$ B． 1 C．$\displaystyle \frac{1}{3}$ D．$\displaystyle \frac{2}{3}$
💡 答案解析
【解析】 $$ \begin{aligned} & \frac{\pi}{4} \omega-\frac{\pi}{6}=2 k \pi \\ & \omega=\frac{2}{3}+8 k \cdot k \in Z \end{aligned} $$ $\omega$ 最小取 $\displaystyle \frac{2}{3}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解题意
条件 f(x) ≤ f(π/4) 恒成立，说明 f(π/4) 是函数的最大值，即余弦函数在 x=π/4 处取得最大值1。
公式：cos(θ) ≤ 1，当 θ=2kπ 时取等
提示：最大值对应余弦函数值为1
步骤 2/4
目标：建立等式
由 f(π/4)=1 得 cos(ω·π/4 - π/6)=1，所以 ωπ/4 - π/6 = 2kπ，k∈Z。
公式：cos(θ)=1 ⇒ θ=2kπ
提示：注意k为整数
步骤 3/4
目标：解出ω
解方程 ωπ/4 - π/6 = 2kπ，得 ω/4 - 1/6 = 2k，即 ω = 4(2k + 1/6) = 8k + 2/3。
公式：ω = 8k + 2/3
提示：化简时注意系数
步骤 4/4
目标：求最小正ω
由于ω>0，取k=0得最小正ω=2/3。k为负整数时ω为负，不符合条件。
公式：ω_min = 2/3
提示：k=0时最小
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