上海交通大学 2022年强基第10题
📝 题目
两个圆柱，$\displaystyle \frac{v_{1}}{v_{2}}=\frac{3}{2}$ ，其侧面积相同，则 $\displaystyle \frac{s_{1}}{s_{2}}=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
【解析】设两圆柱的地面半径和高为 $r_{1}, r_{2}, h_{1}, h_{2}$ $$ \begin{aligned} & \frac{r_{1}^{2} h_{1}}{r_{2}^{2} h_{2}}=\frac{3}{2} r_{1} h_{1}=r_{2} h_{2} . \\ & \frac{r_{1}}{r_{2}}=\frac{3}{2} \\ & \frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{\pi r_{1}^{2}}{\pi r_{2}^{2}}=\frac{9}{4} \end{aligned} $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：设未知数
设两圆柱的底面半径和高分别为r1, r2, h1, h2。
提示：明确变量表示
步骤 2/5
目标：根据体积比列方程
由体积比v1/v2=3/2，得πr1²h1/(πr2²h2)=3/2，即r1²h1/(r2²h2)=3/2。
公式：r1²h1/(r2²h2)=3/2
提示：体积公式V=πr²h
步骤 3/5
目标：根据侧面积相等列方程
侧面积相等，即2πr1h1=2πr2h2，得r1h1=r2h2。
公式：r1h1=r2h2
提示：侧面积公式S侧=2πrh
步骤 4/5
目标：联立方程求半径比
将r1h1=r2h2代入体积比方程，得r1²h1/(r2²h2)=r1/r2=3/2，所以r1/r2=3/2。
公式：r1/r2=3/2
提示：消去h1/h2
步骤 5/5
目标：求底面积比
底面积S=πr²，故S1/S2=(r1/r2)²=(3/2)²=9/4。
公式：S1/S2=9/4
提示：平方关系
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