上海交通大学 2022年强基第11题

答案 A 【解析】有一般结论如下 已知圆雉曲线 $\Gamma: f(x, y)=A x^{2}+C y^{2}+D x+E y+F=0$ 上一点 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，过 $P$ 作倾斜角互补的两条直线 $P M, P N$ 分别与 $\Gamma$ 交于异于 $P$ 的两点 $M, N$ ，则直线 $M N$ 的倾斜角为定值。 证明 当点 $P$ 在曲线 $\Gamma$ 的对称轴上时，直线 $M N$ 的倾斜角为 $0^{\circ}$ 或 $90^{\circ}$ ，结论显然成 立． 当点 $P$ 不在曲线 $\Gamma$ 的对称轴上时，直线 $P M, P N, M N$ 的斜率 $k_{P M}, k_{P N}, k_{M N}$ 均存在 且都不为 0 ，此时由条件可设 $k_{P M}=k, k_{P N}=-k$ ，并设 $M, N$ 的坐标分别为 $M\left(x_{1}, y_{1}\right), ~ N\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，则 $f\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, f\left(x_{1}, y_{1}\right)=0, f\left(x_{2}, y_{2}\right)=0$ 。 由 $f\left(x_{1}, y_{1}\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)=0$ ，两边同除以 $x_{1}-x_{0}$ ，得 $\left[C\left(y_{1}+y_{0}\right)+E\right] k+D+A\left(x_{1}+x_{0}\right)=0$ ． 同理，由 $f\left(x_{2}, y_{2}\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)=0$ 得 $\left[C\left(y_{2}+y_{0}\right)+E\right](-k)+D+A\left(x_{2}+x_{0}\right)=0$ ．由上述两式分别相加、相减，得 $$ \begin{aligned} & C k\left(y_{1}-y_{2}\right)+A\left(x_{1}+x_{2}\right)+2 D+2 A x_{0}=0 \\ & A\left(x_{1}-x_{2}\right)+C k\left(y_{1}+y_{2}\right)+2 E k+2 C k y_{0}=0 \end{aligned} $$ 又由 $y_{1}-y_{0}=k\left(x_{1}-x_{0}\right)$ 与 $y_{2}-y_{0}=-k\left(x_{2}-x_{0}\right)$ 相减、相加，得 $\displaystyle x_{1}+x_{2}=\frac{1}{k}\left(y_{1}-y_{2}\right)+$ $2 x_{0}, y_{1}+y_{2}=k\left(x_{1}-x_{2}\right)+2 y_{0}$ 。