上海交通大学 2022年强基第12题
📝 题目
$\rho^{2} \cos \theta+\rho-3 \rho \cos \theta-3=0$ 所代表的图形为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
【解析】 $(\rho-3) \rho \cos \theta+\rho-3=0$ ． $$ \rho=3 \text { 或 } \rho \cos \quad \theta=-1 $$ $\rho=3$ 表示半径为 3 的圆，$\rho \cos \theta=-1$ 表示 $x=1$ 这条直线，所求图形是这个圆和这条直线的并集。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将原方程因式分解
将方程 ρ² cosθ + ρ - 3ρ cosθ - 3 = 0 分组，提取公因式 (ρ-3)，得到 (ρ-3)(ρ cosθ + 1) = 0。
公式：(ρ-3)(ρ cosθ + 1) = 0
提示：注意分组分解的技巧，将含 ρ cosθ 的项放在一起。
步骤 2/5
目标：由乘积为零得到两个简单方程
由 (ρ-3)(ρ cosθ + 1) = 0 得 ρ-3=0 或 ρ cosθ + 1=0，即 ρ=3 或 ρ cosθ = -1。
公式：ρ=3 或 ρ cosθ = -1
提示：乘积为零意味着至少一个因子为零。
步骤 3/5
目标：识别 ρ=3 的几何意义
在极坐标系中，ρ=3 表示所有到极点距离为3的点，即半径为3的圆。
公式：ρ=3
提示：极坐标方程 ρ = 常数 表示圆。
步骤 4/5
目标：识别 ρ cosθ = -1 的几何意义
利用直角坐标与极坐标的关系 x = ρ cosθ，则 ρ cosθ = -1 化为 x = -1，表示一条垂直于极轴的直线。
公式：x = -1
提示：注意 ρ cosθ 对应直角坐标中的 x。
步骤 5/5
目标：得出最终图形
原方程表示半径为3的圆和直线 x = -1 的并集。
公式：圆 ρ=3 与直线 x=-1 的并集
提示：注意是并集，不是交集。
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