上海交通大学 2022年强基第13题
📝 题目
双曲线 $\displaystyle C: \frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{12}=1$ ，焦点为 $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B}, ~ C$ 上一点 P ，满足 $\displaystyle \cos A P B=\frac{3}{5}$ ，则 $\triangle A B P$ 的周长为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
【解析】 $c^{2}=12+4=16 c=4$ 因此 $A B=2 c=8 .=22 a=4$ ． 设 $A=x, P B=x+4$ ．由余弦定理 $P A^{2}+P B^{2}-A B^{2}=2 P A \cdot P B \cdot \cos \angle A P B$ $$ 2 x^{2}+8 x-48=2\left(x^{2}+4 x\right) \frac{3}{5} $$ 解得 $x=6$ 或 -10 （舍） $$ P B=10 P A=6 \text { 则 } C_{\triangle P A B}=6+8+10=24 \text { 。 } $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：求双曲线焦点距离
由双曲线方程得 a²=4, b²=12，则 c²=a²+b²=16，c=4，故焦点距离 AB=2c=8。
公式：c² = a² + b²
提示：注意双曲线中 c²=a²+b²。
步骤 2/6
目标：设未知数表示边长
由双曲线定义，|PA - PB| = 2a = 4。设 PA = x，则 PB = x + 4（假设 PA < PB）。
公式：||PA| - |PB|| = 2a
提示：设较小边为 x，则另一边为 x+2a。
步骤 3/6
目标：应用余弦定理列方程
在△APB中，由余弦定理：PA² + PB² - AB² = 2·PA·PB·cos∠APB。代入已知：cos∠APB=3/5，AB=8，PA=x，PB=x+4。
公式：c² = a² + b² - 2ab cos C
提示：注意余弦定理的变形。
步骤 4/6
目标：化简方程
代入得：x² + (x+4)² - 64 = 2x(x+4)·(3/5)。展开左边：2x² + 8x + 16 - 64 = 2x² + 8x - 48。右边：2x(x+4)·3/5 = (6/5)(x²+4x)。
提示：小心计算，避免符号错误。
步骤 5/6
目标：解方程求 x
方程化为 2x²+8x-48 = (6/5)(x²+4x)。两边乘以5：10x²+40x-240 = 6x²+24x，移项得 4x²+16x-240=0，除以4得 x²+4x-60=0。解得 x=6 或 x=-10（舍去）。
提示：一元二次方程求解，注意舍去负根。
步骤 6/6
目标：计算三角形周长
PA = x = 6，PB = x+4 = 10，AB = 8。周长 = PA + PB + AB = 6 + 10 + 8 = 24。
提示：周长即三边之和。
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