上海交通大学 2022年强基第16题
📝 题目
$C_{1}, C_{2}$ 两圆与 $y=k x, x$ 轴正半轴相切，且两圆交点过 $\mathrm{P}(2,2)$ ，则 $k=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
【解析】由已知，两圆圆心均在 $y=k x$ 与 $x$ 轴正半轴角平分线上。设之为 $y=\mathrm{s} x$ ． 设圆心 $(t, s t)$ ．则 $(t-2)^{2}+(s t-2)^{2}=(s t)^{2} t^{2}-(4+4 s) t+8=0$ ． $\Delta \geq 0(s+1)^{2} \geq 2 s \geqslant \sqrt{2}-1$. 由存两不同圆心，$\Delta\gt 0, s\gt \sqrt{2}-1$ ． $$ k=\frac{2 s}{1-s^{2}}\gt \frac{2(\sqrt{2}-1)}{1-(\sqrt{2}-1)^{2}}=1 $$ $k$ 取值范围为 $(1, \infty)$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析两圆与直线和x轴相切的条件
两圆与直线y=kx和x轴正半轴相切，则圆心在y=kx与x轴正半轴夹角的角平分线上，设角平分线为y=sx。
提示：注意角平分线的斜率s与k的关系
步骤 2/6
目标：设圆心坐标并利用相切条件
设圆心为(t, st)，由于圆与x轴相切，半径为纵坐标st；与直线y=kx相切，圆心到直线距离等于半径，但此处利用角平分线性质简化。
公式：半径r = st
提示：圆心到x轴距离即纵坐标
步骤 3/6
目标：利用两圆交点P(2,2)建立方程
两圆均过P(2,2)，则圆心到P的距离等于半径，即(t-2)^2 + (st-2)^2 = (st)^2，化简得t^2 - (4+4s)t + 8 = 0。
公式：(t-2)^2 + (st-2)^2 = (st)^2
提示：展开后消去平方项
步骤 4/6
目标：分析方程有解的条件
关于t的二次方程有实根，判别式Δ≥0，即(4+4s)^2 - 32 ≥ 0，化简得(s+1)^2 ≥ 2，解得s ≥ √2 - 1。
公式：Δ = (4+4s)^2 - 32 ≥ 0
提示：注意s>0
步骤 5/6
目标：考虑两不同圆的条件
两圆不同，则方程有两个不同实根，故Δ>0，即s > √2 - 1。
提示：Δ=0时两圆重合
步骤 6/6
目标：由角平分线斜率s求k
角平分线斜率s与直线斜率k的关系：k = 2s/(1-s^2)（由两直线夹角公式）。代入s > √2 - 1，得k > 1。
公式：k = 2s/(1-s^2)
提示：注意s<1时k为正
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