上海交通大学 2022年强基第17题
📝 题目
$f(x)$ 为偶函数，且 $f(x+4)=f(x)+2 f(2)$ ，则 $f(2022)=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
答案 0 【解析】令 $x=-2, f(2)=f(-2)+2 f(2)$ 由 $f(2)=f(-2), f(2)=f(-2)=0$ $f(x+4)=f(x)$ 因此 $f(x)$ 是周期为 4 的周期函数 $f(2022)=f(4 \times 505+2)=f(2)=0$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用偶函数性质代入特殊值
令 x = -2，代入 f(x+4)=f(x)+2f(2) 得 f(2)=f(-2)+2f(2)。
公式：f(2)=f(-2)+2f(2)
提示：选择 x=-2 是为了得到 f(2) 与 f(-2) 的关系。
步骤 2/4
目标：利用偶函数性质化简
由 f(x) 为偶函数得 f(-2)=f(2)，代入上式得 f(2)=f(2)+2f(2)，即 2f(2)=0，所以 f(2)=0。
公式：f(2)=0
提示：偶函数定义：f(-x)=f(x)。
步骤 3/4
目标：确定函数周期
将 f(2)=0 代入原式 f(x+4)=f(x)+2f(2) 得 f(x+4)=f(x)，因此 f(x) 是周期为4的周期函数。
公式：f(x+4)=f(x)
提示：周期函数定义：存在非零常数T使得f(x+T)=f(x)。
步骤 4/4
目标：计算 f(2022)
2022 ÷ 4 = 505 余 2，所以 f(2022)=f(2)=0。
公式：f(2022)=f(2)=0
提示：利用周期性将大自变量化到基本周期内。
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