上海交通大学 2022年强基第18题
📝 题目
$x^{2}-\sin (2022 \pi x)=0$ ，在 $x \in[-1,1]$ 上的解的个数 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
【解析】令 $y=2022 \pi x \in[-2022 \pi, 2022 \pi]$ 原方程 $\Leftrightarrow y^{2}=(2022 \pi)^{2} \sin \quad y$ 
在［ $0,2022 \pi$ ］内的每个周期恰好有两个交点，共 2022 个交点 在 $[-2022 \pi, 0)$ 内每个周期恰好有两个交点，共 2022 个交点，共 4044 个交点。
在［ $0,2022 \pi$ ］内的每个周期恰好有两个交点，共 2022 个交点 在 $[-2022 \pi, 0)$ 内每个周期恰好有两个交点，共 2022 个交点，共 4044 个交点。📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：变量替换简化方程
令 y = 2022πx，则 x = y/(2022π)，x∈[-1,1] 对应 y∈[-2022π, 2022π]。原方程化为 y² = (2022π)² sin y。
公式：y = 2022πx
提示：变量替换将复杂系数化为整数倍π，便于分析周期性。
步骤 2/5
目标：分析函数性质
考虑函数 f(y) = y² - (2022π)² sin y。方程 f(y)=0 的解即 y² 与 (2022π)² sin y 的交点。由于 sin y 周期为 2π，y² 在正半轴递增，负半轴递减。
公式：f(y) = y² - (2022π)² sin y
提示：注意 y² 是偶函数，sin y 是奇函数，但整体非奇非偶。
步骤 3/5
目标：分析正半轴交点个数
在 y∈[0, 2022π] 内，每个周期 [2kπ, 2(k+1)π] 中，y² 单调递增，sin y 先正后负，故每个周期恰有两个交点（一个在 sin y>0 时，一个在 sin y<0 时）。共有 2022/2 = 1011 个完整周期？注意：2022π 是 1011 个 2π，但需检查端点。实际上从 0 到 2022π 有 1011 个周期，每个周期 2 个交点，共 2022 个交点。
公式：周期 T=2π
提示：注意 y=0 时 sin0=0，y²=0，是交点，但属于第一个周期起点。
步骤 4/5
目标：分析负半轴交点个数
在 y∈[-2022π, 0) 内，由于 y² 是偶函数，sin y 是奇函数，交点分布与正半轴对称。每个周期 [-2(k+1)π, -2kπ] 内也有两个交点，共 2022 个交点。注意 y=0 已算在正半轴。
公式：对称性
提示：负半轴周期与正半轴相同，但需排除 y=0 重复。
步骤 5/5
目标：计算总交点个数
正半轴（含 y=0）有 2022 个交点，负半轴有 2022 个交点，总计 4044 个交点。注意 y=0 只算一次。
公式：总个数 = 2022 + 2022 = 4044
提示：确保不重复计数 y=0。
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