上海交通大学 2022年强基第19题
📝 题目
双曲线 $\displaystyle C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ，焦点为 $\mathrm{F}_{1}, \mathrm{~F}_{2}$ ，过 $\mathrm{F}_{1}$ 作 $l$ ，依次交 $C$ 为 A 、 B ，且 $\angle \mathrm{F}_{1} A \mathrm{~F}_{2}=120^{\circ}, \mathrm{F}_{1} \mathrm{~A}=2 a$ ，则 $\displaystyle \frac{S_{\triangle A B F_{2}}}{S_{\triangle F_{1} A F_{2}}}=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
【解析】 $\angle F_{1} A F_{2}=120^{\circ}$ $A F_{1}=2 a \Rightarrow A F_{2}=A F_{1}+2 a=4 a$ 又 $B F_{1}=B F_{2}+2 a=B A+A F_{1}=B A+2 a$ ，故 $B A=B F_{2}$ 又 $\angle B A F_{2}=60^{\circ} \Rightarrow \triangle B A F_{2}$ 为正三角形 
$\Rightarrow B A=4 a$ $\displaystyle \frac{S_{\triangle A B F_{2}}}{S_{\triangle F_{1} A F_{2}}}=\frac{A B}{A F_{1}}=\frac{4 a}{2 a}=2$ 。
$\Rightarrow B A=4 a$ $\displaystyle \frac{S_{\triangle A B F_{2}}}{S_{\triangle F_{1} A F_{2}}}=\frac{A B}{A F_{1}}=\frac{4 a}{2 a}=2$ 。📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：由双曲线定义求AF2
由双曲线定义，AF2 - AF1 = 2a，已知AF1=2a，得AF2=4a。
公式：|AF2| - |AF1| = 2a
提示：注意双曲线定义中焦点到曲线上点的距离差为常数2a。
步骤 2/6
目标：利用双曲线定义和线段关系求BA
由双曲线定义，BF1 - BF2 = 2a。又BF1 = BA + AF1 = BA + 2a，代入得BA + 2a - BF2 = 2a，故BA = BF2。
公式：|BF1| - |BF2| = 2a
提示：注意B在双曲线上，且A、B、F1共线。
步骤 3/6
目标：判断三角形BAF2的形状
由∠F1AF2=120°得∠BAF2=60°（邻补角）。又BA=BF2，所以三角形BAF2是等腰三角形，顶角60°，故为正三角形。
公式：等腰三角形顶角60°则等边
提示：注意角度关系：∠BAF2与∠F1AF2互补。
步骤 4/6
目标：求BA长度
由正三角形性质，BA = AF2 = 4a。
公式：等边三角形三边相等
提示：AF2已求得为4a。
步骤 5/6
目标：计算面积比
三角形ABF2与三角形F1AF2等高（从A到BF2和F1F2？实际等高？注意：两三角形有公共顶点A，底边分别为AB和AF1，且高相同（因为B、F1、F2共线？不，需说明：三角形ABF2和F1AF2的顶点A相同，底边BF2和F1F2在同一直线上？实际上，F1、A、B共线，F2不在该线上，但两三角形的高都是从A到对边的距离，但底边不同。更简单：面积比等于底边比，因为高相同？注意：三角形ABF2和F1AF2有公共顶点A，但底边BF2和F1F2不共线，高不同。正确方法：利用三角形面积公式S=1/2 *底*高，但这里高不同。另一种思路：S△ABF2 / S△F1AF2 = (AB * sin∠BAF2) / (AF1 * sin∠F1AF2)？或者利用共线比例。实际上，由解析：S△ABF2 / S△F1AF2 = AB / AF1，因为两三角形等高？需要验证：过A作直线BF2的垂线，垂足为H，则S△ABF2 = 1/2 * BF2 * AH，S△F1AF2 = 1/2 * F1F2 * AH？但F1F2不一定等于BF2。解析中直接写比值等于AB/AF1，可能因为F1、A、B共线，且F2到直线AB的距离相同？实际上，三角形ABF2和F1AF2有相同的顶点F2？不，顶点不同。重新审视：解析中写S△ABF2 / S△F1AF2 = AB / AF1，这成立的条件是两三角形有相同的高（从F2到直线AB的距离）？因为三角形ABF2和F1AF2的顶点都是F2？不对，三角形ABF2的顶点是A、B、F2，三角形F1AF2的顶点是F1、A、F2。它们有公共顶点F2，且底边AB和AF1都在直线AB上，所以高都是从F2到直线AB的距离，因此面积比等于底边比AB:AF1。所以正确。
公式：S = (1/2) * 底 * 高
提示：两三角形有公共顶点F2，底边在同一直线上，高相同。
步骤 6/6
目标：代入数值得到结果
AB=4a，AF1=2a，所以面积比为4a/2a=2。
公式：比值 = AB / AF1
提示：注意化简。
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