上海交通大学 2022年强基第20题
📝 题目
$\triangle A B C$ 内一点 M ，满足 $\displaystyle \overrightarrow{A M}=\frac{2}{3} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{4} \overrightarrow{A C}$ ，则 $\displaystyle \frac{S_{\triangle A B M}}{S_{\triangle B C M}}=$ $\_\_\_\_$。 21，一圆锥的轴截面为等腰 $R t \Delta, A$ 为底面圆周上一点， B 为底面圆周内一点，且 $O B \perp B A, \mathrm{~B}$ 为垂足，过 0 作 PB 的高，垂足为 $\mathrm{H}, \mathrm{C}$ 为 PA 中点，$|P A|=4$ ，则当 $V_{\text {C－iro }} \operatorname{Max}$ 时，$|O B|=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
【解析】由三点共线条件，设 $B M$ 与 $A C$ 交于 $T, \overrightarrow{A T}=\lambda \overrightarrow{A C}$ $$ \begin{aligned} \overrightarrow{A M} & =u \overrightarrow{A B}+(1-u) \overrightarrow{A T} \\ & =\frac{2}{3} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{4} \overrightarrow{A C}=\frac{2}{3} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{3} \overrightarrow{A T} \end{aligned} $$ 故 $\displaystyle \frac{1}{4} \overrightarrow{A C}=\frac{1}{3} \overrightarrow{A T}, \overrightarrow{A T}=\frac{3}{4} \overrightarrow{A C}$ 
$$ \frac{S_{\triangle A B M}}{S_{\triangle B C M}}=\frac{A T}{C T}=\frac{\frac{3}{4}}{1-\frac{3}{4}}=3 . $$
$$ \frac{S_{\triangle A B M}}{S_{\triangle B C M}}=\frac{A T}{C T}=\frac{\frac{3}{4}}{1-\frac{3}{4}}=3 . $$📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：设BM与AC交于点T，并引入参数λ表示AT与AC的关系
设BM与AC交于点T，令AT = λ AC，则T在AC上。
公式：AT = λ AC
提示：利用三点共线，将AM表示为AB和AT的线性组合。
步骤 2/8
目标：将AM用AB和AT表示，并与已知表达式比较
由A、B、T共线，设AM = u AB + (1-u) AT。代入已知AM = (2/3) AB + (1/4) AC，得u=2/3，且(1-u)AT = (1/4)AC，即(1/3)AT = (1/4)AC。
公式：AM = u AB + (1-u) AT
提示：注意系数对应相等。
步骤 3/8
目标：求出λ的值
由(1/3)AT = (1/4)AC得AT = (3/4)AC，故λ = 3/4。
公式：AT = (3/4) AC
提示：λ表示AT与AC的比值。
步骤 4/8
目标：利用面积比与线段比的关系求S△ABM / S△BCM
S△ABM / S△BCM = (S△ABM / S△ABC) / (S△BCM / S△ABC)。由梅涅劳斯或面积比性质，S△ABM / S△ABC = (AM/AC) * (AB/AB)？更直接：设S△ABC=1，则S△ABM = (2/3)S△ABT？需用比例。
公式：面积比等于对应线段比
提示：考虑以AB为底，高之比等于AM在AC上的投影？
步骤 5/8
目标：计算S△ABM与S△ABC的比值
连接BT，S△ABM / S△ABT = AM/AT = (2/3 AB + 1/4 AC) / (3/4 AC)？更简单：由AM = (2/3)AB + (1/4)AC，取AB和AC为基，则M在AB上的投影系数2/3，在AC上1/4。S△ABM = (1/4)S△ABC？
公式：S△ABM = (1/4) S△ABC
提示：利用向量叉积面积公式。
步骤 6/8
目标：计算S△BCM与S△ABC的比值
S△BCM = S△ABC - S△ABM - S△ACM。S△ACM = (2/3)S△ABC？由AM = (2/3)AB + (1/4)AC，S△ACM = (2/3)S△ABC？实际上，S△ACM = (2/3)S△ABC？不对。正确：S△ABM = (1/4)S△ABC，S△ACM = (2/3)S△ABC？
公式：S△BCM = S△ABC - S△ABM - S△ACM
提示：注意三角形面积分解。
步骤 7/8
目标：利用向量叉积求面积比
设AB和AC为基，则S△ABC = |AB×AC|/2。S△ABM = |AB×AM|/2 = |AB×(2/3 AB + 1/4 AC)|/2 = (1/4)|AB×AC|/2 = (1/4)S△ABC。S△ACM = |AC×AM|/2 = |AC×(2/3 AB + 1/4 AC)|/2 = (2/3)|AC×AB|/2 = (2/3)S△ABC。故S△BCM = 1 - 1/4 - 2/3 = 1/12。
公式：S△ABM = (1/4)S△ABC, S△ACM = (2/3)S△ABC
提示：叉积的线性性质。
步骤 8/8
目标：得出最终比值
S△ABM / S△BCM = (1/4) / (1/12) = 3。
公式：S△ABM / S△BCM = 3
提示：化简得整数。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。