上海交通大学 2022年强基第22题
📝 题目
$\tan 15^{\circ}+2 \sqrt{2} \sin 15^{\circ}=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
【解析】 $\displaystyle \sin 15^{\circ}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}, \tan 15^{\circ}=2-\sqrt{3}$ ，代入即原式 $=2-\sqrt{3}+\sqrt{3}-1=1$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：计算sin15°的值
利用半角公式或两角差公式，sin15° = sin(45°-30°) = sin45°cos30° - cos45°sin30° = (√2/2)(√3/2) - (√2/2)(1/2) = (√6-√2)/4。
公式：sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
提示：常用特殊角45°和30°的差
步骤 2/3
目标：计算tan15°的值
tan15° = tan(45°-30°) = (tan45°-tan30°)/(1+tan45°tan30°) = (1-√3/3)/(1+√3/3) = 2-√3。
公式：tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)
提示：分子分母同乘3化简
步骤 3/3
目标：代入原式并化简
原式 = (2-√3) + 2√2 * (√6-√2)/4 = 2-√3 + (2√2*√6 - 2√2*√2)/4 = 2-√3 + (2√12 - 4)/4 = 2-√3 + (4√3 - 4)/4 = 2-√3 + √3 - 1 = 1。
公式：√12=2√3
提示：注意合并同类项
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