上海交通大学 2022年强基第24题
📝 题目
正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}, ~ \mathrm{P}$ 为 $B_{1} D$ 上一点，则满足 P 到 $A B, C C_{1}, A_{1} D$ 的距离相等的点有多少个。
💡 答案解析
【解析】 $P A=P C=P D_{1}, P A_{1}=P C_{1}=P B$ 故 $d_{P-A B}=d_{P-C C_{1}}=d_{P-A_{1} D_{1}}$ 即结论 $\Leftrightarrow d_{P-A_{1} D_{1}}=d_{P-A_{1} D}, \Leftrightarrow P$ 在 $A_{1} D_{1} D$ 平面上的投影落在 $\angle D_{1} A_{1} D$ 平分线上又 $B_{1} D$ 在 $A_{1} D_{1} D$ 上投影为 $A_{1} D$ ，故 $P$ 只能取在点 $B_{1}$ ，可能的 $P$ 有 1 个。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将点到直线的距离转化为点到点的距离
由于P在B1D上，且AB、CC1、A1D均为正方体中的直线，利用正方体的对称性，将P到AB的距离转化为P到A或B的距离，类似处理其他直线。
公式：d(P, AB) = d(P, A) 或 d(P, B) 等
提示：注意正方体中直线与点的位置关系
步骤 2/5
目标：建立距离相等的条件
由正方体性质，P到AB的距离等于P到A或B的距离，P到CC1的距离等于P到C或C1的距离，P到A1D的距离等于P到A1或D的距离。结合P在B1D上，可得PA=PC=PD1，PA1=PC1=PB。
公式：PA = PC = PD1, PA1 = PC1 = PB
提示：利用正方体棱长相等
步骤 3/5
目标：将条件转化为投影关系
由PA=PC=PD1，可知P在平面A1D1D上的投影到A1、D1、D的距离相等，即投影在∠D1A1D的平分线上。
公式：投影到A1、D1、D等距
提示：投影点满足角平分线性质
步骤 4/5
目标：确定B1D在平面A1D1D上的投影
B1D在平面A1D1D上的投影为A1D，因为B1在平面上的投影为A1，D在平面上，所以投影为A1D。
公式：投影线为A1D
提示：注意投影的几何关系
步骤 5/5
目标：求交点个数
P在B1D上，其投影在A1D上，且投影必须在∠D1A1D的平分线上。A1D与角平分线只有一个交点，即A1点，对应P为B1点。因此只有一个点满足条件。
公式：交点唯一
提示：角平分线与线段A1D交于A1
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