上海交通大学 2022年强基第25题
📝 题目
$a\gt b\gt 0$ ，则 $\displaystyle a+\frac{4}{a+b}+\frac{1}{a-b}$ 的最小值为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
【解析】 $\displaystyle \frac{4}{a+b}+\frac{1}{a-b}=\frac{5 a-3 b}{a^{2}-b^{2}}$ ，记 $5 a-3 b=t$ ，则 $\displaystyle \frac{5 a-3 b}{a^{2}-b^{2}}=\frac{9}{10 a-\left(t+\frac{16 a^{2}}{t}\right)}$ 在 $\displaystyle t=4 a, b=\frac{a}{3}$ 取最小，代入 $\displaystyle b=\frac{a}{3}$ 有原式 $\displaystyle =a+\frac{3}{a}+\frac{3}{2 a}=a+\frac{9}{2 a} \geqslant 2 \cdot \sqrt{\frac{9}{2}}=3 \sqrt{2}$ 故所求最小值为 $3 \sqrt{2}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将分式合并为单一分式
将两个分式通分合并：4/(a+b) + 1/(a-b) = [4(a-b) + (a+b)] / (a^2 - b^2) = (5a - 3b) / (a^2 - b^2)。
公式：4/(a+b) + 1/(a-b) = (5a-3b)/(a^2-b^2)
提示：注意分母是平方差公式。
步骤 2/6
目标：引入变量t并变形
令 t = 5a - 3b，则原式 a + (5a-3b)/(a^2-b^2) = a + t/(a^2-b^2)。利用 b = (5a-t)/3 代入分母，化简得 t/(a^2-b^2) = 9t / [10a t - (t^2 + 16a^2)]。
公式：t = 5a - 3b, b = (5a-t)/3
提示：代入后分母是关于t的二次式。
步骤 3/6
目标：利用不等式求最值条件
由均值不等式，t + 16a^2/t ≥ 8a，当 t=4a 时取等。此时分母 10a t - (t^2+16a^2) 最大，分式最小。代入 t=4a 得 b = a/3。
公式：t + 16a^2/t ≥ 8a, 当 t=4a 时取等
提示：注意t>0。
步骤 4/6
目标：代入b=a/3化简原式
将 b = a/3 代入原式：a + 4/(a + a/3) + 1/(a - a/3) = a + 4/(4a/3) + 1/(2a/3) = a + 3/a + 3/(2a) = a + 9/(2a)。
公式：a + 9/(2a)
提示：化简时注意分数运算。
步骤 5/6
目标：对a+9/(2a)求最小值
由均值不等式，a + 9/(2a) ≥ 2√(a * 9/(2a)) = 2√(9/2) = 3√2，当 a = 9/(2a) 即 a = 3/√2 时取等。
公式：a + 9/(2a) ≥ 3√2
提示：注意a>0。
步骤 6/6
目标：得出最终最小值
因此原式的最小值为 3√2。
公式：最小值 = 3√2
提示：验证等号成立条件：a=3/√2, b=a/3=1/√2，满足a>b>0。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。