上海交通大学 2022年强基第26题
📝 题目
$f(x)=\ln x-M x^{2}+(1-2 M) x+1$ ，若 $f(x)\lt 0$ 在 $x \in(0,+\infty)$ 上恒成立，则最小的整数 $M$ 为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
【解析】 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{1}{x}-2 m x+1-2 m=\frac{1}{x}(x+1)(1-2 m x), f(x)$ 在 $\displaystyle x=\frac{1}{2 m}$ 取最大值 $\displaystyle \frac{1}{4 m}-\ln (2 m)$ ，显然 $m\gt 0$（否则 $f(1)\gt 0$ ），$m=1$ 时 $\displaystyle f_{\text {max }}=\frac{1}{4}-\ln 2\lt 0$ ，故 $m$ 最小为 1 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：求导并分析单调性
对f(x)求导得f'(x)=1/x - 2Mx + 1 - 2M = (x+1)(1-2Mx)/x。令f'(x)=0，得x=1/(2M)（x>0）。
公式：f'(x)=1/x - 2Mx + 1 - 2M
提示：注意定义域x>0，且M>0，否则f(1)>0。
步骤 2/6
目标：确定最大值点
当00，f(x)递增；当x>1/(2M)时f'(x)<0，f(x)递减。故f(x)在x=1/(2M)处取得最大值。
公式：f_max = f(1/(2M))
提示：最大值点由导数符号变化确定。
步骤 3/6
目标：计算最大值表达式
代入x=1/(2M)得f_max = ln(1/(2M)) - M*(1/(2M))^2 + (1-2M)*(1/(2M)) + 1 = -ln(2M) - 1/(4M) + 1/(2M) - 1 + 1 = 1/(4M) - ln(2M)。
公式：f_max = 1/(4M) - ln(2M)
提示：化简时注意合并同类项。
步骤 4/6
目标：建立恒成立条件
要使f(x)<0恒成立，只需最大值小于0，即1/(4M) - ln(2M) < 0。
公式：1/(4M) - ln(2M) < 0
提示：转化为关于M的不等式。
步骤 5/6
目标：求解M的范围
令g(M)=1/(4M)-ln(2M)，g'(M)=-1/(4M^2)-1/M<0，g(M)递减。g(1)=1/4-ln2≈0.25-0.693<0，g(0.5)=0.5-ln1=0.5>0，故M>1时不等式成立。
公式：g(1)=1/4-ln2<0
提示：利用单调性找临界点。
步骤 6/6
目标：确定最小整数M
由于M>0且M=1时不等式成立，而M<1时（如M=0.5）不成立，故最小整数M为1。
提示：注意M=1是整数且满足条件。
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