上海交通大学 2022年强基第27题
📝 题目
$f(x)=|x|+2 x+1+3^{x}$ ，若 $g(x)$ 为 $f(x)$ 的反函数，则 $\left[g\left(x^{2}\right)\right]^{2}=1$ 的根有 $\_\_\_\_$个。
💡 答案解析
【解析】 $g^{2}\left(x^{2}\right)=1 \Leftrightarrow g\left(x^{2}\right)= \pm 1 \Leftrightarrow x^{2}=f(1)$ 或 $f(-1) \Leftrightarrow x^{2}=7$ 或 $\displaystyle \frac{1}{3}$ ，故所求 $x$ 有 4 个。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解反函数性质
由反函数定义，若g(x)是f(x)的反函数，则f(g(x))=x，g(f(x))=x。
公式：f(g(x))=x, g(f(x))=x
提示：注意反函数定义域和值域互换。
步骤 2/6
目标：转化方程
方程[g(x^2)]^2=1等价于g(x^2)=1或g(x^2)=-1。
公式：g(x^2)=±1
提示：平方等于1，开方得±1。
步骤 3/6
目标：利用反函数性质求解
由g(x^2)=1得x^2=f(1)；由g(x^2)=-1得x^2=f(-1)。因为g是f的反函数，所以g(y)=x等价于f(x)=y。
公式：g(y)=x ⇔ f(x)=y
提示：将g(x^2)的值代入反函数关系。
步骤 4/6
目标：计算f(1)和f(-1)
f(x)=|x|+2x+1+3^x。f(1)=|1|+2*1+1+3^1=1+2+1+3=7。f(-1)=|-1|+2*(-1)+1+3^{-1}=1-2+1+1/3=1/3。
公式：f(1)=7, f(-1)=1/3
提示：注意绝对值处理。
步骤 5/6
目标：得到x^2的方程
由前两步得x^2=7或x^2=1/3。
公式：x^2=7 或 x^2=1/3
提示：注意x^2非负，两个方程都有解。
步骤 6/6
目标：求解x的个数
x^2=7解得x=±√7，两个解；x^2=1/3解得x=±√(1/3)=±√3/3，两个解。总共4个解。
公式：x=±√7, x=±√3/3
提示：每个二次方程有两个实根。
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