上海交通大学 2022年强基第28题
📝 题目
$\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n+2}+a_{n}=2 a_{n+1}+2$ ，且 $a_{1}=2, a_{2}=6$ ，则 $\displaystyle \frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\ldots+\frac{1}{a_{2022}}=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
【解析】找规律得 $a_{n}=n(n+1)$ ，代入验证知成立 故原式 $\displaystyle =1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{2022}-\frac{1}{2023}=\frac{2022}{2023}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：推导数列通项公式
由递推式 a_{n+2}+a_n=2a_{n+1}+2 变形为 (a_{n+2}-a_{n+1})-(a_{n+1}-a_n)=2，即二阶等差数列，公差为2。
公式：a_{n+2}+a_n=2a_{n+1}+2
提示：注意构造差分形式
步骤 2/5
目标：计算初始差分
计算 a_2-a_1=4，则 a_{n+1}-a_n = 4+2(n-1)=2n+2。
公式：a_{n+1}-a_n = 2n+2
提示：利用等差数列求和
步骤 3/5
目标：累加求通项
a_n = a_1 + Σ_{k=1}^{n-1} (2k+2) = 2 + (n-1)n + 2(n-1) = n(n+1)。
公式：a_n = n(n+1)
提示：验证 a_1=2, a_2=6 成立
步骤 4/5
目标：裂项求和
1/a_n = 1/(n(n+1)) = 1/n - 1/(n+1)。
公式：1/(n(n+1)) = 1/n - 1/(n+1)
提示：裂项相消
步骤 5/5
目标：计算前2022项和
原式 = (1-1/2)+(1/2-1/3)+...+(1/2022-1/2023) = 1 - 1/2023 = 2022/2023。
公式：S = 1 - 1/(n+1)
提示：中间项全部抵消
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