上海交通大学 2022年强基第29题
📝 题目
$\displaystyle \mathrm{C}: \frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1, l: x+2 \sqrt{3} y-4 \sqrt{3}=0, \mathrm{P}$ 为 $l$ 上一点， $\mathrm{F}_{1}, \mathrm{~F}_{2}$ 为 C 焦点，当 $\angle \mathrm{F}_{1} \mathrm{PF}_{2} \max$ 时，$|\mathrm{OP}|=$
💡 答案解析
【解析】 $F_{1}(-\sqrt{3}, 0) \quad F_{2}(\sqrt{3}, 0)$ $\angle F_{1} P F_{2} \max$ 即 $\triangle P F_{1} F_{2}$ 外接圆与 $l: x+2 \sqrt{3} y-4 \sqrt{3}=0$ 相切 设 $\triangle P F_{1} F_{2}$ 外心为 $(0, t)$ ，则有 $\displaystyle \sqrt{t^{2}+3}=\frac{|2 \sqrt{3} t-4 \sqrt{3}|}{\sqrt{1+12}}, t=\frac{-48 \pm \sqrt{48^{2}+36}}{2}$ ，取 $|t|$ 较小的解 $t=3 \sqrt{65}-24$ ， 则 $P$ 为 $(0, t)$ 在 $l$ 上的投影，即 $2 \sqrt{3} x-y+3 \sqrt{65}-24=0$ 与 $l$ 的交点 $$ \begin{aligned} & \Rightarrow y_{p}=\frac{1}{13}(24+t)=\frac{3 \sqrt{65}}{13} \quad x_{p}=2 \sqrt{3}\left(2-y_{p}\right) \\ & |O P|=\sqrt{93-\frac{144 \sqrt{65}}{13}} . \end{aligned} $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定椭圆焦点坐标
椭圆C: x^2/4 + y^2 = 1，a^2=4，b^2=1，c^2=a^2-b^2=3，焦点F1(-√3,0)，F2(√3,0)。
公式：c^2 = a^2 - b^2
提示：注意焦点在x轴上。
步骤 2/6
目标：分析∠F1PF2最大条件
∠F1PF2最大时，三角形PF1F2的外接圆与直线l相切，此时P为切点。
公式：圆周角最大对应弦切角
提示：利用几何性质转化条件。
步骤 3/6
目标：设外心坐标并求半径
外心在F1F2的中垂线上，设为(0,t)。半径R=√(t^2+3)。外心到直线l的距离等于半径。
公式：距离公式：|2√3 t - 4√3|/√(1+12) = √(t^2+3)
提示：注意直线l方程：x+2√3 y-4√3=0。
步骤 4/6
目标：解方程求t
方程化简得|2√3 t-4√3|/√13 = √(t^2+3)，两边平方得12(t-2)^2=13(t^2+3)，解得t=3√65-24（取绝对值较小者）。
公式：12(t-2)^2 = 13(t^2+3)
提示：舍去绝对值较大的解。
步骤 5/6
目标：求P点坐标
P是外心(0,t)在直线l上的投影，即过(0,t)且垂直于l的直线与l的交点。垂线方向为(2√3,-1)，方程为2√3 x - y + t = 0。联立解得P坐标。
公式：垂线方程：2√3 x - y + t = 0
提示：注意垂直关系。
步骤 6/6
目标：计算|OP|
联立解得y_P = (24+t)/13 = 3√65/13，x_P = 2√3(2 - y_P)。代入距离公式得|OP| = √(93 - 144√65/13)。
公式：|OP| = √(x_P^2 + y_P^2)
提示：化简时注意有理化。
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