上海交通大学 2022年强基第31题
📝 题目
将一半圆九等分，则弧上共十个点（算端点），则它们能构成的钝角 $\Delta$ 个数为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
【解析】只要三个顶点不同时包含左右端点即可，个数为 $C_{10}^{3}-8=112$ 个。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题意并确定总点数
半圆被九等分，加上两个端点，弧上共有10个点。
提示：注意等分点包括端点，总点数为10。
步骤 2/5
目标：分析钝角三角形的条件
在半圆上，直径所对的圆周角是直角。若三角形三个顶点都在半圆上，则当且仅当三个顶点不包含直径的两个端点时，三角形为钝角三角形。
提示：直径两端点与弧上任意点构成直角三角形。
步骤 3/5
目标：计算所有可能的三角形总数
从10个点中任选3个，总数为C(10,3)=120。
公式：C(10,3)=120
提示：组合数公式。
步骤 4/5
目标：计算直角三角形个数
直角三角形必须包含两个端点（直径两端）和弧上任意一点，共有8个这样的三角形（因为弧上除端点外有8个点）。
提示：直径两端点固定，第三个点有8种选择。
步骤 5/5
目标：计算钝角三角形个数
钝角三角形个数等于总数减去直角三角形个数，即120-8=112。
公式：120-8=112
提示：注意：半圆上所有三角形要么直角要么钝角，没有锐角。
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