上海交通大学 2022年强基第32题
📝 题目
正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}, C_{1} D_{1}$ 中点为 $\mathrm{M}, 0$ 为正方体体心，过 B 点的面 $\beta / / O M$ 且与平面 $B C C_{1} B_{1}$不重合， P 位于 $\beta$ 上且位于正方形 $B C C_{1} B_{1}$ 内及边界上，连接 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{P}$ ，则 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{P}$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正切值最大为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
【解析】由条件有 $p \in$ 线段 $B C_{1}$ 又 $A_{1} B_{1} \perp$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ 有 $A_{1} B_{1} \perp B_{1} P, A_{1} P$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 夹角即为 $\angle A_{1} P B_{1}$ $\displaystyle \tan \angle A_{1} P B_{1}=\frac{A_{1} B_{1}}{B_{1} P} \leq \frac{A_{1} B_{1}}{\frac{1}{2} B C_{1}}=\sqrt{2}$ ，故最大值为 $\sqrt{2}$ ，在 $P$ 为 $B C_{1}$ 中点取到。 
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定点P的轨迹
由条件，过B点的平面β平行于OM，且与平面BCC1B1不重合，P在β上且在正方形BCC1B1内及边界上，可得P在线段BC1上。
提示：利用线面平行性质，OM平行于β，且β过B，结合正方体结构，推出P的轨迹为BC1。
步骤 2/5
目标：确定线面角
因为A1B1垂直于平面BCC1B1，所以A1P与平面BCC1B1的夹角即为∠A1PB1。
提示：线面角的定义：斜线与平面所成角为斜线与其在平面内射影的夹角。
步骤 3/5
目标：表达正切值
在直角三角形A1B1P中，tan∠A1PB1 = A1B1 / B1P。
公式：tanθ = 对边/邻边
提示：A1B1为正方体棱长，设为a，则A1B1=a。
步骤 4/5
目标：求B1P的最小值
P在线段BC1上，B1P的最小值发生在P为BC1中点时，此时B1P = (1/2)BC1 = (√2/2)a。
公式：BC1 = √2 a
提示：利用点到直线距离，垂线段最短。
步骤 5/5
目标：计算正切最大值
tan∠A1PB1 = a / B1P，当B1P最小时，正切最大，最大值为 a / ((√2/2)a) = √2。
公式：tanθ_max = a / (B1P_min) = √2
提示：注意a约掉，结果与棱长无关。
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